§ 5. Компенсация аберраций по методу Марешаля

Представим теперь процедуру компенсации аберраций в несколько более общем виде. С этой целью мы должны включить в рассмотрение девять величин пятого порядка Но поскольку мы находимся фактически в фиксированной точке поля зрения ), проводя усреднение по выходному зрачку, все величины, характеризующиеся одинаковой зависимостью от координат выходного зрачка, сведем в коэффициенты третьего порядка. В результате нам достаточно будет ввести только четыре новые величины, функционально отличные от обычных коэффициентов Зейделя. Позднее, при переходе к другой точке поля зрения эти коэффициенты можно снова разделить. Далее, чтобы подчеркнуть роль продольных и поперечных фокальных сдвигов как вдоль главного луча, так и перпендикулярно ему, мы произведем следующие изменения в обозначениях:

Теперь перейдем к изложению самого метода. Сначала необходимо рассмотреть деформацию , которая видна из точки Р, гауссова изображения точки Р. Согласно определению, первоначальный волновой фронт соответствует идеальной сфере, находящейся в центре выходного зрачка Затем мы перемещаемся

вдоль главного луча и перпендикулярно ему на величины таким образом, чтобы деформация волнового фронта (по отношению к первоначальному волновому фронту), которая видна из точки Q, могла быть представлена зависимостью

в которой, как нетрудно показать [4],

Теперь, вычисляя

из выражения

мы находим

что представляет собой деформацию волнового фронта относительно средней идеальной сферы Теперь можно определить средний квадрат деформации

который, вообще говоря, является функцией мы минимизируем его, положив

Решение данной пары уравнений приводит к следующим соотношениям:

Поскольку эти уравнения линейны относительно они определяют поверхность пространстве изображений,

на которой средний квадрат деформации волнового фронта волны будет минимальным. Подставляя L и Т из выражений (4.21) в выражение (4.20), получаем

Эти результаты отнюдь не тривиальны. Марешаль показал, что при малых аберрациях четкость по Стрелю для классической физической оптики и, следовательно, общий объем, ограничиваемый оптической частотной характеристикой, непосредственно зависят от Позже мы исследуем эти вопросы более подробно. Здесь достаточно заметить, что целесообразней ввести определенный допуск в целом на фронт результирующей волны, а не на каждую аберрацию, выраженную отдельно. Весьма важно также подчеркнуть, что разности хода, соответствующие геометрической оценке оптического пути от волнового фронта в выходном зрачке до распределения интенсивности в плоскости изображения, здесь не рассматриваются. Величину же А, представляющую собой оптическую разность пути от волнового фронта до идеальной сферы, можно определить довольно точно. Мы останавливаемся столь подробно на этом вопросе потому, что некоторые усреднения А в непосредственно касаются более точных оценок распределения света с точки зрения физической оптики. В заключение данной главы применим сказанное к простой оптической системе, а именно к случаю одной отражающей поверхности. При этом мы будем сохранять члены до пятого порядка. Рассмотрим разложение волновой деформации, в котором имеются два члена, определяющих фокусировку, пять членов аберрации третьего порядка и девять членов аберрации пятого порядка. Если теперь привести подобные члены вида то А можно выразить следующим образом:

Соотношения между новыми и старыми коэффициентами даны в табл. 4.1. Из дальнейшего будет ясно, что если положить то все формулы

будут приведены к случаю аберраций третьего порядка [1]. Чтобы избежать длинных математических выкладок, мы

Таблица 4.1

предположим, что вычислены и подставлены в уравнение (4.20) для Положив

мы получим

Подставив эти выражения обратно в соотношение для найдем его минимальное значение

Вопрос о том, какое ограничение нужно наложить на отложим до того момента, когда мы будем рассматривать дифракционную теорию. Сейчас же займемся вопросом оценки коэффициентов в выражении (4.25) в случае одной сферической отражающей поверхности, чтобы показать, каким образом различные члены входят в выражение для оптической разности пути А. В более сложных системах аналогичные члены появляются при преломлении или отражении на каждой поверхности, так что задачей оптика-конструктора и является нахождение удобного приема суммирования этих составляющих аберраций от поверхности к поверхности с тем, чтобы в дальнейшем он мог манипулировать ими для достижения некоторого компромисса.