§ 2. Другие статистические факторы: зернистость и гранулярность

Пока что мы рассматривали вопрос о формировании оптического изображения, не учитывая шумов, обусловленных флуктуациями числа фотонов, создающих изображение, или флуктуациями параметров чувствительного элемента (глаза, фотоэлемента, пленки и т. д.). При фотографической регистрации изображения основным источником шума являются флуктуации, обусловленные неоднородной зернистой структурой. Конечно, с точки зрения теории информации для того, чтобы передать определенную плотпость информации в битах на необходимо учесть не только ширину полосы пропускания (разрешающую способность), но и шумовые ограничения (гранулярность). Это справедливо для всех физических измерений. Каждый реальный физических! сигнал ограничен во времени, в пространстве и по частоте. Кроме того, при любых измерениях неизбежны шумы. Ограниченной шириной полосы пропускания определяется конечное число степеней свободы формы сигнала, но если бы не было шума, дискретные значения ординаты можно было бы отличать друг от друга с любой степенью точности.

Чтобы немного осветить вопрос о гранулярности и в то же время дать пример расчета двумерных корреляционных функций и двумерного статистического спектра, рассмотрим две простые модели.

Прежде всего обратимся к ситуации, представленной на фиг. 7.3. Пусть характеризует пропускание

в каждой точке рассматриваемой картины, А — площадь отверстия диафрагмы сканирующей системы.

Фиг. 7.3.

Нас будут интересовать флуктуации пропускания относительно среднего значения, т. е. величина

где

Введем автокорреляционную функцию

В начале координат эта функция равна

Статистический спектр флуктуаций пропускания определяется на основании теоремы Хинчина—Винера следующим образом:

Приведенные характеристики описывают флуктуации пропускания самого образца. При сканировании образца картина флуктуаций несколько размывается. Действительно, если функция описывает импульсную реакцию диафрагмы сканирующей системы, то наблюдаемые флуктуации будут определяться выражением

При переходе к частотным представлениям получим

и, осуществив еще раз преобразование Фурье, мы установим следующий вид автокорреляционной функции на выходе измерительной системы:

Прежде чем идти дальше, сделаем одно историческое замечание. Сначала необходимо провести четкое различие между понятиями зернистости и гранулярности. Зернистость относится к субъективному восприятию случайных флуктуаций плотности образца и определяется на практике как увеличение, при котором появление зереп приводит к стиранию различий между деталями снимка. Термин же гранулярность был введен для описания результатов

объективных измерений зернистой структуры с помощью физического прибора.

Одна из наиболее ранних характеристик гранулярности была предложена Гётцем и Гулдом [4]. Это величина — стандартное отклонение пропускания, измеренное при сканировании образца диафрагмой с отверстием площадью А. Позже Селвин [5], который обнаружил явную зависимость гранулярности от плотности D, предложил характеризовать гранулярность параметром Для диафрагм с отверстием, значительно превышающим размеры зерна, величина S как функция должна быть постоянной. Позднее Джонс и Хиггинс [6], стремясь наилучшим образом согласовать результаты объективных измерений со шкалой зернистости, предложили использовать в качестве параметра гранулярности среднее значение разности плотностей на двух соседних участках, просматриваемых сканирующей диафрагмой. Рассматривая совместно сложный параметр гранулярности SAD и пороговую кривую контрастной чувствительности глаза, они получили шкалу субъективной зернистости. В дальнейшем для характеристики гранулярности было предложено использовать автокорреляционную функцию и ее преобразование Фурье — спектр мощности [7, 8]. В последнее же время Мэрридж и Питтс [9] показали, что различные параметры, которые были предложены для характеристики гранулярности и зернистости, математически эквивалентны.

На основании вышесказанного представим формулу (7.2) в следующем виде:

где последнее выражение следует из теоремы Парсеваля, а — не что иное, как свертка функции импульсной

реакции апертуры с самой собой. Приведенному выражению, представляющему собой объем фигуры, высота которой в каждой точке равна произведению может быть дана интересная интерпретация. Рассмотрим для этого два крайних случая. В первом случае, когда отверстие сканирующей диафрагмы значительно меньше размеров зерен, может быть представлено в виде Выполнив эту подстановку и используя известные фильтрующие свойства -функции, получим

Если же отверстие сканирующей диафрагмы значительно превышает размер зерен, то величина почти постоянна во всей области корреляции зерен и ее значение можно вынести за знак интегрирования:

Для пленки определенного типа этот интеграл постоянен. Чтобы определить зависимость от размеров отверстия сканирующей диафрагмы, запишем передаточную функцию в таких безразмерных единицах, чтобы при изменении размеров сканирующей диафрагмы и сохранении ее формы постоянной функция также не изменялась. Безразмерные единицы определяются следующим образом:

где

причем — максимальные размеры отверстия сканирующей диафрагмы.

Поскольку связаны друг с другом преобразованием Фурье, можно написать

Подставив это выражение в формулу (7.4), получим соотношение

которое было установлено также на основании экспериментальных наблюдений [6].

Исходя из того, что размеры отверстия диафрагмы значительно больше размера зерен, можно также найти выражение для флуктуаций плотности. Из определения «фотографической плотности» следует, что

и при больших сканирующих диафрагмах, когда получаем

Следовательно, величина также не должна зависеть от У А при больших сканирующих диафрагмах.

Теперь мы хотим выяснить, как изменится стандартное отклонение наблюдаемого пропускания при увеличении размеров сканирующей диафрагмы. С этой целью рассмотрим две весьма упрощенные модели зернистости.