ГЛАВА 1. ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ

§ 1. Линейные дифференциальные операторы второго порядка

Физики и инженеры хорошо представляют себе преимущества описания полей с помощью линейных уравнений. При таком описании эффекты от независимых источников аддитивны. К сожалению, при быстром развитии науки и техники, которое сопровождается выделением самостоятельных узких направлений исследования, на общность некоторых основных положений линейной теории иногда не обращают внимания. Например, то, что инженеры-электрики называют импульсной реакциейг), является функцией рассеяния для физиков-оптиков и функцией Грина для физиков-теоретиков. То, что в одной дисциплине называется требованием причинности, в другой известно как дисперсионное соотношение, а в третьей — как условие физической реализуемости четырехполюсника.

Используя лишь основные понятия операционного исчисления, мы хотим просто и в то же время в достаточно общем виде показать здесь (базируясь на классической теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка), как появляется интеграл, выражающий принцип линейной суперпозиции.

Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным оператором D, для которой представляет собой функцию на входе системы, а — реакцию системы на эту функцию (фиг. 1.1). Так, например, для механического осциллятора с трением (фиг. 1.2)

и реакция системы на функцию описывается выражением

Без всякого доказательства мы предположим, что существует обратный оператор такой, что

Фиг. 1.1.

Тогда, по крайней мере формально, мы можем записать

Фиг. 1.2.

Решение такого типа мы хотим найти, т. е. по данному мы хотим определить у (t). Рассмотрим специальный случай, когда в качестве функции , подаваемой на вход системы в момент времени t, мы имеем мгновенный импульс, представляющий собой функцию Дирака (дельта-функцию) . Теперь мы определим реакцию системы на как функцию Грина так что

Для дальнейшего важно заметить, что и D, и — функции переменной t; t только фиксирует момент возникновения импульса. Из равенства (1.3) мы получаем

Одним из других специфических свойств функции Дирака, определенной таким образом, является то, что она позволяет «отфильтровать» единственную ординату функции:

Подставляя это выражение в равенство (1.2), находим зависимость

С учетом формулы (1.4) ее можно записать в виде

откуда мы видим, в чем смысл введения обратного интегрального оператора Если система нечувствительна к смещению начала отсчета на временной оси, то можно записать в виде . Кроме того, если начальные условия выбраны таким образом, что для то тогда мы можем получить выражение

которое показывает, что можно заглянуть в прошлое сигнала и учесть его вклад в настоящем, но нельзя заглянуть в будущее. Этот вывод хорошо известен тем, кто знаком с теорией линейной фильтрации

Но такой подход к вопросу не совсем удовлетворителен. Не говоря уже о том, что определено недостаточно строго и граничные условия проблемы точно не установлены, можно добавить к правой части равенства (1.2) однородное решение уравнения (1.1) и получить еще одно совершенно приемлемое решение 2).

Поэтому изложение вопроса об интеграле линейной суперпозиции мы начнем несколько необычно, основываясь на классической теории линейных дифференциальных

уравнений [I]. Рассмотрим однородное уравнение

Определим теперь сопряженное уравнение

при условии, что

есть полный дифференциал. Оператор Р называется билинейным оператором взаимности и определяется выражением

В результате всего этого мы можем написать

Рассмотрим теперь два случая.