§ 3. Уравнения для отрезков луча

Возвращаясь к рассмотрению выходного зрачка и имея в виду основное положение геометрической оптики которое позволяет нам воспользоваться уравнением (4.2), мы можем попытаться определить уравнение прямой линии, проходящей между с дополнительным условием, чтобы она была нормальна к , в точке Q. Уравнение реальной волновой

поверхности

приводится к уравнению идеальной сферы при Поскольку большей частью мы будем иметь дело с деформациями волнового фронта, выраженными в единицах длины волны света, можно пренебречь величиной и мы получим

Направляющие косинусы единичного вектора

нормального к поверхности S, и единичного вектора прямой, проходящей между , определяются выражениями

Уравнение луча, выходящего из точки Q выходного зрачка по нормали к фронту волны и пересекающего плоскость изображения в точке Q, имеет вид

или, так как в большинстве практических применений

мы получаем

В гауссовой плоскости изображения выражение (4.4) приводится к важным соотношениям

В равной степени важно указать, что в данном параграфе х и у обозначают отклонения от точки Р плоскости гауссова изображения. Точкой мы считаем, как правило, внеосевую точку изображения Р, а не осевую точку плоскости изображения О. В полярных координатах выражения (4.5) имеют вид

так что, если в некоторых случаях то семейство лучен, для которых будет пересекаться с гауссовой плоскостью изображения в кольце радиуса определяемом выражением

Величина называется поперечной аберрацией. Продольный разброс (вдоль оси) для этого частного случая можно определить в полярных координатах по формуле (4.4), полагая в ней Для данного кольца в выходном зрачке продольный разброс равен

и общий эффект можно определить путем сложения составляющих от каждого кольца

Проведем теперь подробное исследование каждого члена степенного ряда (4.1).

1. Постоянные члены.

Хотя такие члены могут иногда входить в общее выражение для А, мы видим из формул (4.5) и (4.6), что, так как они не содержат ни, следовательно, то они не вызывают аберраций и все лучи собираются в точке . Как мы увидим, в общем добавление постоянной величины не влияет на результаты, полученные с помощью либо геометрической, либо физической оптики. Добавление постоянной величины просто соответствует выбору сферы разного радиуса, но с одним и тем же центром.

2. Ошибки фокусировки.

а) Продольная:

Из выражений (4.7) и (4.8) мы видим, что

так что каждое кольцо в выходном зрачке с радиусом отображается кольцом в гауссовой плоскости изображения с радиусом имеющим максимальный размер для крайних лучей (фиг. 4.2). Однако все лучи проходят через точку Следовательно, это не аберрация, а продольная ошибка в фокусировке. И наоборот, если мы передвинемся из фокуса, находящегося в точке Р, на величину относительно новой идеальной сферы, центр которой расположен вне фокуса, то мы введем ошибку волнового фронта, равную Зависимость между может быть определена непосредственно из геометрических соображений. Из подобных треугольников получаем

Отсюда следует, что

б) Поперечная:

Из выражения (4.5) мы видим, что все лучи собираются в точке Следовательно, и эта ошибка не аберрация. Просто такой член описывает наклонный волновой фронт (фиг. 4.3). Наоборот, если переместиться из гауссова фокуса совершенной системы на величину поперек главного луча, то мы получим ошибку вида

Фиг. 4.2.

Фиг. 4.3.

Фиг. 4.4.

3. Аберрации Зейделя.

Следующие пять членов степенного ряда для А в выражении (4.1) представляют собой классические аберрации Зейделя третьего порядка. Третий порядок понимается в том смысле, что при дифференцировании общий показатель степени h и среди этих членов уменьшается от 4 до 3.

а) Сферическая аберрация. Это член третьего порядка, существующий только на оси Используя выражения (4.7) и (4.8), мы видим, что каждое кольцо создает свое собственное изображение в гауссовой плоскости, пересекающееся с осью в точке z, различной для разных зон. Максимальное значение этих отклонений для крайних лучей определяется следующими выражениями (фиг. 4.4):

Этот эффект может быть частично скомпенсирован путем перемещения центра сферы из фокуса на расстояние и рассмотрения деформации волнового фронта относительно новой идеальной сферы.

Так как

то волновую деформацию относительно повой плоскости изображения можно представить в виде

где

определяет положение плоскости изображения: соответствует параксиальному фокусу; соответствует

фокусу для крайних лучей. Форма волновых деформаций для различных величин показана на фиг. 4.5. Позже, при рассмотрении частотной характеристики оптической системы при наличии аберраций мы попытаемся определить, какое из этих положений фокуса является оптимальным.

Фиг. 4.5.

Здесь достаточно заметить, что элементарные геометрические соображения приводят к выбору это значит, что плоскость изображения должна быть расположена посредине между фокусами для крайних и параксиальных лучей.

б) Астигматизм и кривизна поля изображения:

Эти две аберрации обычно рассматривают вместе, и иногда их исследование удобнее проводить, пользуясь прямоугольной системой координат и и

Как видим, в этом случае в сагиттальной и тангенциальной плоскостях они имеют вид продольных фокальных ошибок; волновой фронт обладает различной кривизной в этих двух плоскостях. Используя общее выражение (4.4), мы видим, что в плоскости, смещенной на расстояние z от гауссовой плоскости,

возводя их в квадрат и складывая, получаем

откуда следует, что каждое кольцо выходного зрачка изображается в виде эллипса в плоскости z (плоскости изображения). Максимальные размеры эллипса будут при и тогда

где большая и малая полуоси определяются выражениями

Установим теперь значения Во-первых, удобно ввести параметр а, определяемый как

Затем мы отметим, что изображение превращается в линию , когда лучи фокусируются в тангенциальной плоскости. Поверхность, на которой это происходит, описывается уравнением

Подобным же образом лучи в сагиттальной плоскости фокусируются в линию на поверхность, которая описывается выражением

Общее расхождение между этими фокальными линиями равно

Таким образом, мы установили, что представляет собой коэффициент астигматизма. Он характеризует расстояние между тангенциальной и сагиттальной фокальными поверхностями. Далее, если то Лучи собираются в точке, но эта точка все более и более отклоняется от гауссова изображения, если источник удаляется от оси (h увеличивается). Следовательно, мы получаем искажение, которое называется «кривизной поля изображения».

В общем случае, когда не равны нулю, имеется поверхность на которой изображение точки превращается в кружок («кружок наименьшего рассеяния»). Чтобы определить эту поверхность, положим и найдем решение для . В результате получаем

т. е. поверхность, где образуется так называемый «кружок наименьшего рассеяния», лежит посредине между сагиттальной и тангенциальной фокальными поверхностями.

(см. скан)

Фиг. 4.6.

Все возможные состояния изображения представлены на фиг. 4.6 и описываются соотношениями

в) Дисторсия:

Если рассматривать зависимость отклонения от апертурных координат, то величина дисторсии тождественна поперечному сдвигу в плоскости изображения, о котором мы говорили ранее: для точки поля, удаленной от оси на расстояние все лучи фокусируются в точке .

Фиг. 4.7.

Но при этом смещение изменяется пропорционально кубу угла поля зрения (так как в выражение для дисторсии входит и в зависимости от знака приводит к хорошо известной либо «бочкообразной», либо «подушкообразной» дисторсии объекта, если последний имеет вид сетки, как это показано на фиг. 4.7.

г) Кома:

Подставляя это выражение в выражение (4.6), мы получаем

где

Можно записать эти выражения в несколько видоизмененной форме

Возводя в квадрат и складывая, приходим к уравнению

из которого следует, что каждое кольцо выходного зрачка создает кружок в гауссовой плоскости, центр которого находится на оси х и радиус которого увеличивается при возрастании и увеличении угла поля зрения вследствие роста

Кроме того, вследствие удвоения угла в аргументе одному повороту луча по кольцу в выходном зрачке соответствуют два поворота в плоскости изображения. В результате действия всех зон образуется картина, напоминающая комету, как показано на фиг. 4.8.

На этом мы закончим наше предварительное рассмотрение геометрических свойств аберраций Зейделя. Мы не будем анализировать хроматические аберрации, с которыми также связаны некоторые интересные эффекты. Кроме того, мы преднамеренно воздержались от поисков связи между распределением интенсивности света в изображении точки и геометрической формой изображения. Читателя, который заинтересуется этим, мы отсылаем к весьма интересным работам [1—3], в которых производится наглядное сравнение как геометрических форм

(см. скан)

Фиг. 4.8.

изображения точки, так и более точных результатов распределения света в изображении, предсказанных физической оптикой, с фотографиями распределения света в изображении точки при наличии отдельных аберраций