§ 2. Формирование изображении

Можно показать [6], что вследствие линейности уравнений Максвелла, а также вследствие того, что удовлетворяет скалярному волновому уравнению, удовлетворяет двум волновым уравнениям вида

Это — очень важное обстоятельство с точки зрепия формирования изображения. Наше представление об оптических системах при когерентном и некогерентном излучении как о фильтрах пространственных частот основано на линейном преобразовании фурье-составляющих между плоскостями объекта и изображения. При частично когерентном излучении фурье-составляющие структуры объекта оказываются «перепутанными» и входят в формулу изображения нелинейно. Правда, эти составляющие всегда можно «распутать», если позаботиться об этом, но более желательно сохранить линейную связь величин между плоскостями объекта и изображения и затем перейти к пределам.

Имея в виду это обстоятельство, мы теперь представим оптическую систему в виде системы трех плоскостей, как показапо на фиг. 8.1. На этой фигуре вектор относится к точке плоскости объекта, вектор (J расположен в плоскости зрачка, точка в плоскости изображения,

Если представить в виде

и подставить в волновые уравнения, то мы найдем, что удовлетворяет паре уравнений Гельмгольца, а из гл. 5 мы уже кое-что знаем о решениях таких уравнений для подобных проблем.

Фиг. 8.1.

Решая первое из этих уравнений, мы получаем выражение

где — комплексное возмущение в точке обусловленное точечным источником, находящимся в точке на частоте V. Для второго уравнения Гельмгольца мы имеем

где комплексно сопряженная величина и выбирается таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия

вытекающего из определения и предположения о стационарности, что дает в свою очередь соотношение

Подставляя выражение (8.1) в выражение (8.2), мы получаем соотношение, которое описывает характер распространения каждой спектральной составляющей функции взаимной когерентности между плоскостями объекта и изображения

Выполняя временное преобразование Фурье и налагая условие пространственной стационарности на комплексное распределение освещенности в изображении точки, мы получаем, наконец, следующее выражение:

Распределение интенсивности получаем при что приводит к Прежде чем переходить к этим пределам, мы сначала должны ввести квазимонохроматическое приближение. Хотя ни один оптический источник не дает строго монохроматического излучения в смысле бесконечно длинных волновых цугов, в некоторых случаях можно считать, что где v — средняя частота излучения, — ширина спектральной полосы излучения, обратная времени когерентности Для квазимонохроматического излучения мы имеем

и, так как

мы можем написать

откуда

Производя подстановку в правую часть выражения (8.3) и интегрируя по мы приходим к следующей зависимости:

    (8.4)

Ограничим рассмотрение еще больше; для когерентного освещения плоскости объекта принимает особенно простой вид [6]:

Подставляя это выражение в формулу (8.4) при условии, что

и пренебрегая зависимостью от v, мы имеем для распределения интенсивности в плоскости изображения следующее выражение:

или в более удобном виде

Это выражение четко показывает, что оптическая система является линейным фильтром по отношению к комплексной амплитуде. Вычисляем далее когерентную суперпозицию между двумя плоскостями, а затем возводим ее в квадрат.

При некогерентном освещении плоскости объекта или для самосветящихся объектов принимает следующий вид:

Это означает, что каждая точка излучает независимо от другой точки. Выполняя опять подстановку в формулу (8.4), выбирая пределы пренебрегая зависимостью от v и используя фильтрующие свойства -функции, мы приходим к выражению

которое достаточно хорошо иллюстрирует некогерентную суперпозицию. В заключение параграфа напомним, что выражения (8.5) и (8.6) можно записать в виде интегралов суперпозиции следующим образом:

где в первом из этих выражений а во втором . С точки зрения теории линейной фильтрации при когерентном излучении передаточная функция представляет собой пространственное преобразование Фурье от и которое, как показано в гл. 5, равно в точности — комплексной амплитуде на выходном зрачке. Именно это обстоятельство позволяет управлять фурье-структурой изображения в устройствах, где используется когерентная пространственная фильтрация, и в микроскопах с фазовым контрастом. Наконец, в случае некогерентного освещения передаточная функция

представляет собой пространственное преобразование Фурье функции которое, как видно из выражения (5.9), представляет собой свертку функции с ее комплексно сопряженной величиной.