§ 2. Интеграл Фурье

При переходе от рядов Фурье к интегралу Фурье [2, И] удобнее всего исходить из формы выражения и рассматривать непериодическую функцию как периодическую, а затем перейти к пределу при . В таком случае мы получаем некоторую свободу в выборе постоянных, появляющихся в конечном соотношении для преобразования Фурье.

При различном подходе к выбору постоянных имеются свои преимущества и свои недостатки. Мы полагаем удобным здесь выбрать постоянные таким образом, чтобы при интегрировании по частоте, т. е. при наличии всегда появлялся множитель

Запишем теперь выражение в следующем виде:

где мы отождествили основную частоту со спектральным интервалом Теперь перейдем к пределу для этих выражений (предполагая, что он существует) при с» и при стремящемся к текущей переменной . Далее мы определим спектральную плотность функции как . В результате получим

Говорят, что в таком виде представляют собой пару преобразований Фурье. Весьма просто показать, что выполняется соотношение ортогональности