§ 4. Теорема свертки

С преобразованием Фурье связано несколько интересных теорем. Наиболее важной из них можно считать теорему свертки, которая касается преобразования произведения двух функций. Здесь мы будем говорить лишь об одномерных функциях времени, но ясно, что полученный результат может быть непосредственно применен (как здесь, так и во всем тексте книги) и к двумерным пространственным функциям.

Итак, рассмотрим интеграл

Подставляя вместо функций их значения, выраженные в виде интегралов Фурье от величин мы получаем

Интеграл по t является интегральным представлением -функции, так что

Интегрируя по у и пользуясь фильтрующими свойствами -функции, мы, наконец, имеем

Это соотношение известно как теорема свертки для преобразования Фурье от произведения двух функций. Следует иметь в виду, что между интегралом свертки и конечным корреляционным интегралом имеется различие [3]. В интеграле свертки одна из функций свернута и затем смещена. Для временных фильтров, например, где должно быть выполнено условие физической осуществимости, это весьма существенное обстоятельство. Но в оптике во многих случаях функции оказываются симметричными, и поэтому указанное различие не играет роли.

Если мы перейдем к использованию комплексных функций, то выражение примет следующий вид:

Особый случай теоремы перемножения комплексных функций встречается, когда . В этом случае мы получаем теорему Парсеваля

Далее, если то

Это выражение часто имеет значение принципа сохранения. В теории оптической дифракции, например, оно соответствует тому факту, что все лучи, проходящие

через апертуру, в конечном итоге проявляются в распределении освещенности в дифракционном пятне. В квантовой механике оно выражает закон сохранения вероятности.