§ 2. Связь между геометрической и физической оптикой

Метод исследования связи между геометрической и физической оптикой вполне аналогичен методу ВКБ 2) в квантовой механике. В этом методе начинают с волнового уравнения (уравнения Шредингера) и разлагают фазу функции в ряд по степеням постоянной Планка h. В приближении нулевого порядка волновое уравнение имеет только коэффициент при и решением его является известное из классической механики уравнение Гамильтона — Якоби:

где grad W есть импульс . Затем обычно последовательно рассматриваются приближения первого, второго и более высоких порядков.

В оптике исходят из волнового уравнения

где — показатель преломления, решение которого можно записать в виде

где — действительные величины. Подставляя для удобства вместо величину и замечая, что в волновом уравнении можно произвести замены

и

мы получаем

Приравнивая действительные и мнимые части обеих сторон уравнения, для действительной части имеем

В пределе при мы получаем основное уравнение эйконала геометрической оптики

Следовательно, поверхности постоянного L являются поверхностями постоянной оптической фазы, и, таким образом, они определяют фронт волны. Далее, траектории лучей нормальны к поверхности волны. Так как формула (4.2) является приближенной, то мы не можем рассчитывать на то, что опа останется справедлива, когда изменения в пространстве уже не будут пренебрежимо малыми по сравнению с . Следовательно, вблизи резкого фокуса, в котором происходит высокая концентрация интенсивности света, мы можем встретиться со значительными отклонениями от результатов, предсказанных геометрической оптикой.