§ 2. Самосопряженные операторы

Говорят, что оператор является самосопряженным, если Поэтому, написав

или после преобразований

мы видим, что является самосопряженным оператором, если

Таким образом, дифференциальный оператор

является самосопряженным. Чтобы показать это более наглядно, произведем подстановку

и тогда мы увидим, что самосопряженный линейный оператор второго порядка

есть дифференциальный оператор Штурма — Лиувилля [2]. Кроме того, в этом случае билинейный оператор взаимности приобретает весьма простую форму

Уравнение Штурма — Лиувилля играет столь важную роль в теории спектрального разложения, что мы сделаем небольшое отступление. Заметим, что при основные уравнения для собственных значений, с которыми приходится иметь дело в краевых задачах математической физики, можно записать в следующем виде:

где — собственные функции и — собственные значения оператора — положительная весовая функция, характеризующая заданную систему координат. Помножив первое уравнение на а второе на произведя вычитание и используя уравнения (1.6) и (1.7), получим

Для краевых задач, в которых функция или ее производная исчезают на границе, правая сторона равна

нулю, что приводит к следующим равенствам:

и

Первое соотношение указывает, что L представляет собой эрмитовый оператор, а второе является условием ортогональности для ряда собственных функций с весовой функцией Умножая на постоянную можно также получить нормированные собственные функции. Наконец, при имеем так что собственные значения оказываются действительными величинами.