§ 5. Некоторые частные вопросы

а) Вероятностная интерпретация собственных значений оператора J. Когерентная матрица J [выражение (9.11)] является эрмитовой, и, следовательно, всегда может быть найдена соответствующая унитарная матрица, которая преобразует ее в диагональную. Ее собственные значения и можно получить путем решения характеристического уравнения. Они имеют следующий вид:

При приведении к диагональному виду когерентная матрица записывается таким образом:

Но

В этом параграфе мы сначала дадим вероятностную интерпретацию когерентной матрицы, представленной выражением (9.31). Когерентную матрицу диагональной формы [выражение (9.31)] можно переписать так:

Представив в таком виде частично поляризованный пучок, когерентная матрица которого равна , мы получаем как бы некогерентную суперпозицию двух независимых полностью поляризованных пучков, относительная интенсивность которых равна и Пучок 1 с когерентной матрицей полностью поляризован в направлении х, а пучок 2 с когерентной матрицей полностью поляризован в направлении у.

Чтобы дать вероятностную интерпретацию собственных значений рассмотрим проекционный оператор, собственные состояния которого представляют собой и у-состояния поляризации. (Мы выбрали такой проекционный

оператор потому, что когерентная матрица выражена через компоненты поля по осям х и у.) Поляризатор, призма Николя [выражение (9.18)] с ориентацией или очевидно, является, прибором как раз такого типа. Допустим, что поляризатор [выражение (9.18)] расположен на пути пучка, описываемого когерентной матрицей (9.32). Заметим, что интенсивность и состояние поляризации — взаимно независимые свойства пучка. Теперь предположим, что интенсивность уменьшается до такой степени, что от источника к поляризатору Р (0) в среднем поступает только один «фотон». Вероятность того, что этот фотон пройдет через поляризатор Р (0), который допускает только -состояние линейной поляризации, равна Вероятность же того, что ни один фотон не будет пропущен, равна Подобные же рассуждения можно провести и для поляризатора, ориентированного под углом

Можно спросить, какова будет вероятностная интерпретация собственных значений в том случае, когда поляризатор ориентирован под промежуточным углом который не равен ни 0, ни Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны сначала, как принято в квантовой механике, представить состояние поля в виде линейной комбинации собственных состояний поляризатора [выражение (9.18)]. Мы уже показали в соотношении (9.32), что исходный пучок можно рассматривать как результат некогерентной суперпозиции двух полностью поляризованных пучков, когерентные матрицы которых равны Для полностью поляризованного пучка 1 мы можем, например, записать вектор Джонса в следующем виде:

Это выражение можно рассматривать как линейную комбинацию собственных состояний именно:

Здесь

— нормализованные собственные состояния оператора Р (0) с собственными значениями . Здесь важно отметить, что прибор с оператором «интерпретирует» состояние поляризации пучка 1 как суперпозицию своих собственных состояний. Поэтому вероятность того, что «фотон» пройдет через , можно найти, снова обратившись к методам квантовой механики. Она равна квадрату модуля коэффициента в выражении (9.33), характеризующего состояние

которое пропускается поляризатором . Если фотон проходит с вероятностью ), то это значит, что его состояние характеризуется матрицей

Подобные рассуждения применимы также к пучку 2. Сначала мы запишем

Тогда вероятность того, что через проходит фотон от пучка 2, равна .

Теперь предположим, что интенсивность исходного пучка уменьшилась настолько, что в среднем от источника к поляризатору поступает только один фотон. Вероятность того, что фотоц цройдет через равна

просто сумме вероятностей, только что вычисленных для пучков 1 и 2, а именно она равна

Так получается потому, что исходный частично поляризованный пучок был представлен в виде некогерентной суперпозиции пучка 1 и пучка 2 [выражение (9.32)].

Следует заметить, что коль скоро фотон прошел через призму Николя, скажем Р (0), у него уже вполне определенное состояние поляризации, а именно такое собственное состояние оператора Р(0), собственное значение которого равно Поэтому такой «эксперимент» можно назвать «подготовкой состояния», ибо если этот фотон опять пройдет через Р(0), то результат второго «эксперимента» можно предсказать с полной уверенностью. Второй эксперимент можно назвать «измерением», проводимым на фотоне. Но если измерение выполняется с помощью поляризатора Р(0), ориентированного под углом , то исход эксперимента может быть оценен только в вероятностном плане, так как прибор Р (0) «видит» приходящий фотон в суперпозиции со своими собственными состояниями, хотя фотон был «подготовлен» и первоначально характеризовался определенным собственным состоянием оператора Р(0). Все сказанное выше справедливо для любого проекционного оператора, собственным состояниям которого соответствуют диаметрально противоположные точки на сфере Пуанкаре. Проекционные же операторы (а не какие-нибудь другие) мы рассматривали исключительно ради удобства. Вопрос об описании с помощью эрмитовых матриц таких оптических приборов, операторы которых не являются проекционными операторами, читатель может проанализировать самостоятельно.

Теперь обратимся к понятию «энтропии» и посмотрим, какова его роль в теории частичной поляризации. Напомним, что в гл. 8 степень «беспорядка» в системе описывалась энтропией

При вероятностной интерпретации собственных значений энтропия оказывается равной

Что касается Нмии и Ямакс, соответствующих условию

то очевидно (см. конец гл. 8), что

и

В первом случае только одно из собственных значений не равно нулю. Поэтому соответствует полностью поляризованному волновому полю. Во втором случае, когда оба собственных значения одинаковы, что соответствует неполяризованному волновому полю. Весьма показательно, что энтропия является также мерой степени поляризации волнового поля.

б) Разложение J. Из выражения (9.32) мы уже видели, что диагонализированная когерентная матрица может быть представлена в виде суммы двух когерентных матриц. Действительно, любую когерентную матрицу

в общем можно разложить на два слагаемых таким образом, что

где действительные положительные величины. Такое разложение не является единственно возможным. Но если наложить дополнительное условие вида

то разложение типа (9.35) оказывается единственно возможным. При этих условиях любое частично поляризованное квазимонохроматическое волновое поле можно рассматривать как некогерентную суперпозицию полностью неполяризованного волнового поля и полностью поляризованного монохроматического волнового поля. Идя таким путем, мы находим, что выражение для степени поляризации Р [соотношение (9.16)] можно получить так, как это показали Борн и Вольф ([12], стр. 548).

Возможно и иное разложение матрицы J, с использованием спиновых матриц Паули. Оно возможно потому, что набор спиновых матриц Паули является полным. Алгебра этих матриц определяется следующими соотношениями:

Если взять след первого из этих соотношений и воспользоваться третьим соотношением, то можно показать, что

Для удобства будем пользоваться спиновыми матрицами в следующем виде:

Все матрицы (9.38) являются эрмитовыми.

Теперь любую -матрицу можно представить в виде линейной комбинации спиновых матриц Паули. Коэффициенты такого разложения определяются из выражения (9.37) для следа матрицы. Особый интерес представляет разложение [14] когерентной матрицы J [формула

(9.11)]. Мы запишем

Чтобы определить коэффициенты умножим обе стороны полученного выражения на и возьмем след от обеих сторон. Используя выражение (9.37), получаем

Например, при мы имеем

Таким путем читатель может убедиться в том, что коэффициенты разложения в выражении (9.39) действительно представляют собой параметры Стокса.

Напомним теперь, что при методе когерентных матриц приборные операторы оказываются -матрицами. Следовательно, такие операторы также можно разложить по спиновым матрицам Паули. Например, для компенсатора С (6) [соотношение (9. 27)] и вращателя R (0) [соотношение (9.30)] получаются следующие выражения:

Естественно спросить, каким оптическим приборам соответствуют спиновые матрицы Паули и каков физический смысл перестановочных соотношений (Подробно данный вопрос разбирается в диссертации Мэретея ) Мы уже видели в § 4, что компенсатор вызывает вращение в стоксовом подпространстве на угол 26 относительно оси а вращатель — на угол 20 относительно оси Примем аргументы в выражении (9.40) равными Тогда получим

Постоянный множитель представляет собой просто фазовый множитель, который оставляет неизменным фазовый сдвиг между компонентами поля по осям х и у. Таким образом, из выражения (9.41) следует, что спиновая матрица Паули соответствует компенсатору,

который вызывает вращение относительно оси в стоксовом подпространстве на угол Точно так же спиновая матрица соответствует вращателю, который вращает плоскость поляризации относительно оси z на угол и вызывает вращение относительно оси на угол Предоставим читателю, который интересуется этим вопросом, доказать, что матрица Паули вызывает вращение относительно оси

В соответствии с формой выражений (9.41) на основе спиновой матрицы можно построить матрицу оптического прибора. Нетрудно показать, что такой новый прибор будет не чем иным, как компенсатором С, повернутым на угол 45° относительно оси z против часовой стрелки [13].

При такой интерпретации определение собственных состояний для становится тривиальным. Поскольку оператор вызывает вращение относительно оси состояния поляризации, которые представляются точками с координатами на сфере Пуанкаре, остаются неизменными с точностью до постоянного множителя. Поэтому и -состояния линейной поляризации являются собственными состояниями То же самое можно сказать о матрицах .

Выясним теперь физический смысл перестановочных соотношений для спиновых матриц. Заметим сначала, что матрицы — эрмитовы, а матрицы — единичные матрицы с определителем, равным . Теперь, подставив первое соотношение (9.36) во второе, мы получим

или

Отсюда явствует, что два прибора соединенных последовательно, действуют на любой, но квазимонохроматический, пучок так же, как и один прибор Более того, из выражения (9.42) видно также, что вращение на угол относительно оси с последующим поворотом на тот же угол относительно оси эквивалентно единственному повороту на угол относительно третьей оси стоксового подпространства. Наконец, третье соотношение

в (9.35), а именно

просто показывает, что двойное применение оператора , который вызывает вращение на угол относительно оси эквивалентно умножению на единичную матрицу.

в) Интерпретация измерения интенсивности в стоксовом пространстве. Особенно интересен тот способ, которым когерентная матрица введена Борном и Вольфом (см. [12], стр. 542). Мы дадим здесь только основные наметки.

Возьмем любой (квазимонохроматический) пучок света, у-компонента которого отстает по фазе на по отношению к -компоненте. Это означает, что пучок проходит через компенсатор

Интенсивность световых колебаний в направлении, составляющем угол с направлением х, можно наблюдать, пропуская пучок через поляризатор Р (0) [выражение (9.18)]. Выражение для интенсивности выходящего пучка, полученное таким образом, имеет вид [12]

или в более компактной матричной записи

где величины представляют собой элементы когерентной матрицы J исходного пучка.

Определим теперь оператор А для двух приборов С и Р, соединенных последовательно:

Когерентную матрицу J для выходящего пучка можно получить на основании закона преобразования (9.13). Мы находим

Тогда интенсивность выходящего пучка равна

Написав матрицы в полной форме, мы, наконец, получаем

Это выражение для наблюдаемой интенсивности, соответствующее данному приборному оператору, хорошо согласуется с общей формулой (9.17).

Мы хотим показать на примере, что соотношение для следа матрицы вида (9.44) при методе когерентных матриц дает наблюдаемую интенсивность как «скалярное произведение» двух векторов в стоксовом пространстве. Выразим оператор через спиновые матрицы Паули. Мы получим

тогда как разложение когерентной матрицы по спиновым матрицам имеет вид [выражение (9.39)]

Свяжем теперь с оператором «приборный вектор» Компоненты этого вектора в соответствии с выражением (9.45) равны Далее, с приходящим пучком свяжем четырехкомпонентный вектор Стокса S с компонентами Интенсивность выходящего луча получается как скалярное

произведение этих двух четырехкомпонентных векторов:

В матричной записи

Подставив сюда параметры Стокса, выраженные через элементы когерентной матрицы [формула (9.25)], легко убедиться в том, что это выражение приводит к правильной формуле для интенсивности [формула (9.43)]. Таким образом, интенсивность выходящего пучка действительно может быть определена как скалярное произведение «приборного вектора» и «вектора Стокса» светового пучка.

На этом мы закончим изложение классической статистической оптики. Мы говорили здесь в основном о распространении электромагнитного излучения и о его свойствах. Более интересные с точки зрения физики вопросы испускания и обнаружения излучения следует рассматривать на основе методов квантовой теории.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)