§ 5. Случайные фазовые ошибки

Предположим теперь, что отклонение волнового фронта, испускаемого оптическим прибором, от средней идеальной сферы состоит из двух частей: первая — «контролируемая» часть -обусловлена аберрациями, а вторая — «случайная» часть — обусловлена различными ошибками изготовления или атмосферными эффектами. Далее, если зависит от времени, так что дифракционное пятно все время «скачет», то мы должны мысленно взять целый ансамбль одинаковых систем, которые могут обладать различными графическими характеристиками , по которые эквивалентны в статистическом смысле. Наконец, предположим, что мы можем создать наш ансамбль таким образом, что среднее по времени будет эквивалентно среднему по ансамблю. Тогда можно определить

где нормировка учтена коэффициентом Усреднение сказывается только на и результат, будучи независимым от и у, может быть вынесен за знак интеграла.

Остающийся интеграл будет представлять собой передаточную функцию обусловленную только линзой. Поэтому, написав

мы должны теперь определить

Прежде чем идти дальше, мы должны сделать некоторые предположения относительно статистических свойств величины Примем, что имеет нормальное распределение, нулевое среднее значение, дисперсию а его автокорреляционная функция имеет вид

Разложив правую часть соотношения (6.5) в ряд и усреднив член за членом, получим

При нормальном распределении моменты высших порядков определяются через первые два момента в соответствии с хорошо известными выражениями [20]

Отсюда методом математической индукции получаем

Подставляя это выражение в формулу (6.6) и заменяя индекс суммирования на получаем формулу

которая представляет собой разложение в ряд функции

Таким образом, скорость уменьшения контраста определяется средним квадратом флуктуаций и величиной их корреляции по апертуре, причем обе величины выражаются в единицах длины волны. Кроме того, из формулы (6.4) следует, что эти случайные флуктуации могут рассматриваться как линейное звено в цепи и всегда приводят к потере контраста и разрешающей способности. Последняя определяется длиной волны и числовой апертурой через