§ 4. Модель зернистой структуры, состоящая из круглых перекрывающихся зерен

Обратимся теперь к модели [3] зернистой структуры, изображенной на фиг. 7.6, которая более соответствует действительности, нежели предыдущая модель. Такая модель для определения флуктуаций пропускания и автокорреляционной функции впервые предложена Писэнбоно [10]. Она сложнее простого двумерного обобщения задачи о случайном двухуровневом сигнале с пуассоновским распределением пересечений, хорошо известной в электрической теории связи.

Для начала предположим, что а) зерна круглые и их центры расположены на плоскости случайно, независимо друг от друга; б) центры зерен распределены по закону Пуассона, т. е. вероятность того, что на площади А имеется зерен, определяется выражением

где — плотность заполнения площади зернами;

в) размеры зерен подчиняются закону распределения вида

Для простоты будем полагать, что размеры всех зерен одинаковы; следовательно, будет изображаться пунктирной кривой на фиг. 7 7.

Как и раньше, представляет собой пропускание в точке объекта, по величине равное либо 0, либо 1.

Фиг. 7.7.

Вычислим теперь среднее, или ожидаемое, значение пропускания

Разобьем рассматриваемую плоскость на элементы которым припишем следующие свойства: Б, если а не содержит центр зерна, захватывающего точку , и Б, если содержит центр зерна, захватывающего точку Вероятность того, что элемент имеет свойства В, обозначим . В соответствии с выражением (7.5) мы можем разбить область интегрирования на две части: одна часть, для которой и другая — для которой Тогда Т равно отношению прозрачной площади ко всей площади. Иначе говоря, Т — это доля общего числа событий, при которых случайно расположенная диафрагма накроет участки с Таким образом, Вероятность Но это может быть только в том случае, если элементы окружающие , имеют

свойство В. Поэтому

причем для удобства мы выберем элементы а кольцевой формы площадью с центром в точке (фиг. 7.8).

Фиг. 7.8.

Найдем теперь число случаев, в которых элемент может иметь свойство В.

Во-первых, он может не содержать зерен, во-вторых, может содержать одно зерно, которое не доходит до точки в-третьих, может содержать два зерна, ни одно из которых не достигает и т. д. В соответствии с пуассоновским распределением размеров зерен напишем

где Подставляя это выражение в формулу (7.6), получаем

и, переходя от суммирования к интегрированию, находим, что

В случае когда размеры всех зерен одинаковы, эта формула приобретает вид

где — площадь одного зерна. Смысл этого выражения заключается в том, что если разбрасывать зерна случайным образом по всей прозрачной площади, то пропускание сначала будет уменьшаться почти пропорционально числу зерен, а затем, когда зерна начнут перекрываться, уменьшение пропускания будет экспоненциальным. Действительно, так как фотографическая плотность D связана с плотностью заполнения соотношением где то соотношение (7.7) можно записать в виде

т. е. мы получили более привычное выражение для экспоненциального уменьшения Т при увеличении

Наконец, прежде чем приступать к вычислению автокорреляционной функции для данной модели, мы укажем, что поскольку Т принимает только значения 0 и 1, то в каждой точке Следовательно,

Что касается корреляционной функции, то она должна обладать круговой симметрией и зависеть только от расстояния между двумя точками. Поэтому мы упростим рассмотрение, взяв на оси х две точки, находящиеся на расстоянии l. Из определения корреляционной функции имеем

В произведении возможны 4 различные комбинации. Но оно будет отлично от нуля только в том случае, когда и равно единице, т. е.

Определим элемент заново таким образом, чтобы он обладал свойством В, если не содержит центр зерна захватывающего или и свойством В во всех других случаях.

Фиг. 7.9.

Далее, разделим плоскость на две части, как показано на фиг. 7.9, и введем следующие обозначения:

Следовательно, — вероятность того, что зерна в правой половине не захватывают ни

Так как две половины плоскости независимы, то

На основании всего сказанного можно сразу написать

и

так что

Теперь необходимо различать две области. При второй интеграл в показателе степени исчезает и мы получаем

как и следовало ожидать. При оба интеграла дают свой вклад в конечное выражение

где

представляет собой как раз ту функцию, которая в дифракционной теории описывает свертку двух кружков рассеяния. Здесь она появляется, конечно, совершенно по другим причинам (фиг. 7.10).

Фиг. 7.10.

Фиг. 7.11.

Фиг. 7.12.

Несколько удобнее с помощью соотношения (7.1) перейти от Тогда мы имеем

где фотографическая плотность. Кривые, изображающие эту функцию, представлены на фиг. 7.11.

Не составляет труда определить, что будет при сканировании нашей модели круглой диафрагмой с отверстием радиуса . Передаточная функция имеет вид и для получаем

Подставляя эти выражения в формулу (7.3) и производя интегрирование, находим зависимость, представленную на фиг. 7.12. Предлагаем читателю сравнить полученные результаты с данными для реальных зернистых структур, имеющимися в литературе [6]. В заключение следует указать, что Писэнбоно [10] и его последователи [11] развили дальше изложенную теорию зернистости с учетом частотного распределения как размеров зерен, так и их пропускания.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)