§ 6. Пример: одна отражающая поверхность

Пусть на фиг. 4.11 — светящаяся точка, а — точка в плоскости изображения.

Фиг. 4.11.

Выясним кратко условия, при которых мы можем назвать точку В изображением точки В. Поскольку справа от зеркала всюду только воздух, разность оптического пути

выражается соотношением

Рассмотрим первое выражение в скобках. Все, что мы получим для первого члена, будет справедливо и для второго члена в скобках, если заменить I на I и h на Сначала находим

и, разлагая это выражение в биномиальный ряд, получаем

Что касается ВР, то

уравнение сферы можно записать в виде

или

так что соотношение для можно представить следующим образом:

где

Теперь, сохраняя члены до шестого порядка по а и мы вычтем (4.27) из (4.28), чтобы получить первый член в скобках в соотношении (4.26). Повторим то же самое для второго члена и заменим I на Г, h на —1г и, естественно, Q на Наконец, складывая две

величины в скобках и собирая коэффициенты с одинаковыми степенями мы получаем

Чтобы было изображением В, главные члены ряда должны равняться нулю (коэффициенты двух величин ошибки фокусировки). Это значит, что мы требуем, чтобы

Полученные соотношения определяют точку гауссова изображения в виде

Подставляя эти величины для и, следовательно, обратно в ряд, мы можем определить коэффициенты аберрации третьего и пятого порядков. Прежде

всего введем одно упрощающее условие для зеркала, а именно: объект поместим на бесконечности; при этом Кроме того, чтобы получить результат в виде соотношения (4.23), положим

Тогда получим выражение

из которого найдем коэффициенты С и D путем непосредственного сравнения этого выражения с соотношением (4.23). Зная эти коэффициенты, из выражений (4.24) и (4.25) можно определить L и Т и, следовательно, наряду с как функции угла поля зрения и . Таким образом, коль скоро установлен допуск, можно определить максимальный допустимый угол поля зрения при данном и поверхность , на которой соблюдается заданный допуск.