§ 3. Матричная теория

Всегда, когда это возможно, в математической физике стараются описывать поля с помощью линейных эрмитовых операторов. Линейность желательна по причинам весьма очевидным, а эрмитовость — поскольку эрмитовы операторы дают в качестве наблюдаемых величин действительные собственные значения. Эту тенденцию легко видеть, например, на начальной стадии разработки квантовой теории. Так, в центре схемы Шредингера в волновой механике стоит проблема определения основных собственных значений с помощью линейного дифференциального оператора второго порядка. В матричной механике Гейзенберга все основано на другом, но математически эквивалентном решении уравнения для собственных значений с помощью матричных операторов. Поэтому даже удивительно, что оптическое волновое уравнение, которое было известно гораздо раньше волнового уравнения Шредингера, до самого последнего времени не было представлено в матричном виде. Теперь главным образом благодаря работам Габора [9] и Гамо [10] достигнута полная аналогия между матричным и дифференциальным описанием как в волновой механике, так и в оптике. Мы начнем с того, что вернемся к выражению (8.4) и, чтобы не загромождать изложение второстепенными деталями, ограничимся только одномерпыми изменениями. Снова положим

и, пренебрегая явной зависимостью от v, получаем следующее выражение для интенсивности в плоскости

изображения:

Разложим теперь и в ряд по ортогональным функциям. В поисках подходящего набора функций мы воспользуемся тем, что и в силу самого процесса дифракции, ограничивается по полосе пространственных частот числовой апертурой прибора. Тогда, разлагая и с помощью теоремы о дискретном представлении мы получаем

где

— половина апертурного угла. Так как выражение для теоремы о дискретном представлении не зависит от начальной точки выборки, мы можем написать

Подставляя формулу (8.7 а) в выражение (8.7), мы приходим к следующей зависимости:

где элементы «матрицы освещенности» В определяются соотношением

хорошо известным в квантовой механике. Прежде чем идти дальше, весьма поучительно свести эту формулу к выражениям (8.5) и (8.6) для случаев когерентного и некогерентного излучения.

В случае когерентного излучения

и приводится к виду

Подставляя полученное выражение (8.10) в формулу (8.8) и опять используя теорему о дискретном представлении, находим

В случае некогерентного излучения

так что можно записать в виде

Подставляя выражение (8.11) в формулу (8.8), получаем

что, конечно, согласуется с соотношением (8.6). Возвращаясь к выражениям (8.8) и (8.9), замечаем, что Следовательно, В — положительно определенная эрмитова матрица. Интегрируя обе стороны выражения (8.8) по и используя ортогональные

свойства функции отсчетов, мы видим, что общая освещенность в плоскости изображения определяется выражением

Определим теперь унитарное преобразование таким образом, что

Тогда выражение (8.8) можно записать в виде

где от матрицы Q теперь потребуем, чтобы она диагонализировала матрицу В в форме

При таких условиях выражение (8.13) можно записать следующим образом:

Прежде чем интерпретировать этот результат, мы заметим что числа определяются из решения уравнения для собственных значений (8.14) при выполнении условия Подставляя эти числа снова в выражение (8.14), находим собственные векторы унитарного преобразования (8.12), откуда можпо определить

Интересно, что левые части соотношений (8.8) и (8.15) одинаковы. Величина характеризует распределение интенсивности, которое мы должны наблюдать или фотографировать. Правым же частям этих соотношений можно

дать интересную интерпретацию. Так, выражение (8.8), представляя собой обобщенную квадратичную форму, описывает формирование с помощью линзы изображения объекта, дающего частично когерентное излучение Линза имеет функцию рассеяния точки и

Фиг. 8.2.

Выражение же (8.15) устанавливает, что мы должны получить точно такое же распределение интенсивностей при замене линзы другой линзой, для которой интенсивность изображения точки равна , и при замене объекта с частично когерентным излучением последовательностью некогерентных излучающих точек (расположенных на равных расстояниях друг от друга) с яркостью как показано на фиг. 8.2.

Так как инвариантность следа матрицы при унитарном преобразовании соответствует здесь тому физическому факту, что полная освещенность в плоскости изображения одинакова в обоих случаях, мы выбираем для удобства нормировку Далее, исходя из нашей интерпретации выражения (8.15) как некогерентной суперпозиции пучков, испускаемых источниками с яркостью мы видим, что, если бы у нас имелось устройство, которое считало бы отдельные фотоны, то вероятность Р; того, что данный обнаруженный

фотон связан с пучком, равнялась бы как раз А.. С этой точки зрения весьма заманчиво построить энтропию (см. приложение Б) световых пучков в виде

Теперь можно спросить, когда Н будет максимальным и когда минимальным, если соблюдать условие — Легко показать, что

и

В случае, представленном на фиг. 8.2, значение соответствует одному яркому источнику в пространстве объектов, когда не может быть никаких сомнений относительно источника обнаруживаемых фотонов. Максимум Н соответствует случаю, когда яркость всех N точек одинакова, т. е. когда неопределенность (энтропия) максимальна. В приложении Б мы показываем, что собственные значения полученные в результате перехода к когерентному и некогерентному пределам в выражениях (8.10) и (8.11), как раз и дают минимальное (в первом случае) и максимальное (во втором случае) значения Н. Тот факт, что описание когерентного и некогерентного излучения с использованием понятия энтропии согласуется с нашими интуитивными представлениями об упорядоченной и неупорядоченной суперпозиции, весьма положителен. Эта идея отнюдь не нова, но первым исследовал на основе термодинамических представлений с использованием понятия энтропии частично когерентную суперпозицию световых лучей Лауэ [11]. Результат также не представляет ничего неожиданного. Величина Н определяется через величины которые, будучи собственными значениями матрицы освещенности, зависят от функции взаимной когерентности Вольфа. Последняя же, как уже говорилось, используется для описания свойств частично когерентных оптических полей.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)