§ 2. Основная дифракционная проблема

Чтобы более четко выразить сказанное выше, рассмотрим основную задачу дифракционной теории: по оптическому возмущению, заданному на всей поверхности, окружающей точку Q (фиг. 5.2), требуется определить возмущение в точке Q. Очевидно, что мы имеем дело с волновой аналогией обычной задачи электростатики.

Фиг. 5.2.

Под оптическим возмущением мы подразумеваем одну из скалярных составляющих электрического вектора, связанного с естественным неполяризованным светом. Так как внутри рассматриваемой нами области не имеется источников, удовлетворяет однородному волновому уравнению

Раскладывая на гармонические составляющие вида

и подставляя их в уравнение (5.1), мы получаем уравнение Гельмгольца

где

— волновое число. В дальнейшем мы будем опускать индекс у и Из выражения (5.2) мы всегда можем опять получить зависимость возмущения от времени по известному и ). Функция Грина для однородного волнового уравнения имеет вид

Далее, в соответствии с методом, рассмотренным в гл. 1, умножим уравнение (5.3) на G, уравнение (5.4) на и, вычтем одно из другого и проинтегрируем по объему, окружающему Q. В результате получим

В трехмерном случае теорема Грина из векторного анализа эквивалентна билинейному оператору взаимности из гл. 1, так что интеграл по объему можно свести к интегралу по поверхности:

Теперь попытаемся применить эту формулу непосредственно к случаю, изображенному на фиг. 5.3, где поверхность интегрирования включает плоскость 2 выходного зрачка, простирающуюся до бесконечности (2) и ограниченную бесконечной сферой окружающей точку Р.

Прикидывая порядки величин, можно показать, что вклад от можно сделать ничтожно малым. Далее, используя граничные условия Кирхгофа, состоящие в том, что на неосвещенной части плоскости выходного зрачка 2, мы проведем интегрирование по 2 в следующем виде:

Теперь удобно подставить егкг как сферически симметричное решение уравнения (5.4); учтем также то обстоятельство, что сама диафрагма освещается сзади

точечным источником, и поэтому и, наконец, проинтегрируем с множителем чтобы найти временную зависимость.

Фиг. 5.3.

В результате этих преобразований мы получаем достаточно точное выражение для «коэффициента непрямолинейности» и приходим к хорошо известной теореме Кирхгофа, согласно которой возмущение в точке Q в момент времени t определяется тремя факторами: возмущением на границе, его нормальной производной и производной по времени, причем все они берутся со смещением на сек в прошлое. Но теперь решение переопределено, так как, зная пространственно-временное распределение по апертуре, мы можем в принципе найти пространственную и временную производные этого распределения.

Следуя Зоммерфельду [1], мы предпочитаем устранить избыточность, построив функцию Грина, исчезающе малую во всей области интегрирования 2. Это согласуется со сказанным в гл. 1 и относительно необходимости задания граничных условий для функции Грина. Если G исчезающе мало в области , то выражение (5.5) приводится к виду

Теперь задача в том, чтобы построить функцию Грина G, которая была бы исчезающе малой в области 2, но обладала бы в этой области не исчезающе малой нормальной производной

Фиг. 5.4.

В случае плоской поверхности, как показал Зоммерфельд, для этого достаточно построить изображение точечного источника, как обычно делается в электростатике. Мы построим функцию Грина, поместив один точечный источник в точку наблюдения Q, а другой точечный источник, излучающий не в фазе с первым, — в точку являющуюся зеркальным отражением точки Q в плоскости выходного зрачка (фиг. 5.4). Тогда функция Грина будет иметь следующий вид:

Очевидно, что функция G равна нулю при на всей плоскости выходного зрачка 2 и 2, и поэтому устраняется необходимость что-либо говорить о значении в этой плоскости. Но что касается grad G, то

или

и, конечно, Затем сделаем вполне оправданное для оптики видимых лучей предположение, что

При этих условиях выражение (5.6) приобретает вид

откуда непосредственно видно, каким образом каждый элемент поверхности и дает свой вклад в возмущение в точке Q, которое представляет собой суперпозицию сферических волн.