Внутри проводника $\mathbf{E}=\mathbf{0}$.
Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд. В обоих случаях на все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор (практически это происходит в течение малой доли секунды), пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Таким образом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует ( $\mathbf{E}=0$ ).

Далее, поскольку в проводнике всюду $\mathbf{E}=0$, то плотность избыточных (нескомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулю $(\rho=0)$. Это легко понять с помощью теоремы Гаусса. Действительно, так как внутри проводника $\mathbf{E}=0$, то и поток вектора $\mathbf{E}$ сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен нулю. А это и значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет.

Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью $\sigma$, вообще говоря, различной в разных точках его поверхности. Заметим, что избыточный поверхностный заряд находится в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного двух межатомных расстояний).

Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.31), что потенциал $\&$ в проводнике одинаков во всех его точках, т. е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой экв и потенциальную область и его поверхность является эквипотенциальной.

Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна, следует, что непосредственно у этой поверхности поле $\mathbf{E}$ направлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды пришли бы в движение по поверхности проводника, т. е. равновесие зарядов было бы невозможным.

Пример.
Найти потенциал незаряженного проводящего шара, на расстоянии $r$ от центра которого расположен точечный заряд $q$ (рис. 2.1).

Потенциал $\varphi$ всех точек шара одинаков. Раз так, вычислим его в центре шара $O$, ибо только для этой точки расчет оказывается наиболее простым:
\[
\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r}+\varphi^{\prime},
\]

где первое слагаемое – это потенциал от заряда $q$, а второе потенциал от зарядов, индуцированных на поверхности шара. Но так как все индуцированные заряды находятся на одном и том же расстоянии $a$ от точки $O$ и суммарный индуцированный заряд равен нулю, то $\varphi^{\prime}=0$. Таким образом, в данном случае потенциал шара будет определяться только первым слагаемым в (1).

На рис. 2.2 изображено поле и распределение зарядов для системы, состоящей из двух проводящих шаров, один из которых (левый) заряжен. Вследствие электрической

индукции на поверхности правого незаряженного шара появились заряды противоположного знака. Поле этих зарядов в свою очередь вызовет некоторое перераспределение зарядов на поверхности левого шара – их распределение по поверхности станет неравномерным. Сплошными линиями на рисунке показаны линии вектора E, пунктирными – пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью рисунка. По мере удаления от этой системы эквипотенциальные поверхности становятся все более близкими к сферическим, а линии вектора E приближаются к радиальным, и само поле становится все более близким к полю точечного заряда $q$ – полному заряду данной системы.

Поле у поверхности проводника.
Напряженность электрического поля непосредственно у поверхности проводника связана, как мы сейчас увидим, простым соотношением с локальной плотностью заряда на поверхности проводника. Эту связь можно легко установить с помощью теоремы Гаусса.

Пусть интересующий нас участок поверхности проводника граничит с вакуумом. Линии вектора E перпендикулярны поверхности проводника, поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем небольшой цилиндр, расположив его так, как показано на рис. 2.3 Тогда поток вектора $\mathbf{E}$ через эту поверхность будет равен только потоку через «наружный» торец цилиндра (потоки через боковую поверхность и внутренний торец равны нулю), и Рис. 2.3 мы имеем $E_{n} \Delta S=\sigma \Delta S / \varepsilon_{0}$, где $E_{n}$ – проекция вектора $\mathbf{E}$ на внешнюю нормаль $\mathbf{n}$ (по отношению к проводнику), $\Delta S$ – площадь сечения цилиндра, $\sigma$ – локальная поверхностная плотность заряда на проводнике. Сократив обе части этого равенства на $\Delta S$, получим

Если $\sigma>0$, то и $E_{n}>0$, т. е. вектор $\mathbf{E}$ направлен от поверхности проводника – совпадает по направлению с нормалью $\mathbf{n}$; если же $\sigma<0$, то $E_{n}<0$ – вектор $\mathbf{E}$ направлен к поверхности проводника.

В связи с соотношением (2.2) может возникнуть ошибочное заключение, что Е вблизи проводника зависит только от локальной плотности $\sigma$ заряда. Это не так. Напряженность $\mathbf{E}$ определяется всеми зарядами рассматриваемой системы, как и само значение $\sigma$.