Оказывается – в этом мы сейчас убедимся,- для стационарного случая циркуляция намагниченности $\mathbf{J}$ по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания $I^{\prime}$, охватываемых контуром $\Gamma$ :

где $I^{\prime}=\int \mathbf{j}^{\prime} \mathrm{d} \mathbf{S}$, причем интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на контур $\Gamma$.

Для доказательства этой теоремы вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых контуром Г. Натянем на контур Г произвольную поверхность $S$ (рис. 7.3). Из этого рисунка видно, что одни молекулярные токи пересекают поверхность $S$ дважды – раз в одном направлении, второй раз в другом. Поэтому такие токи не вносят никакого вклада в результирующий ток намагничивания через поверхность $S$.

Рис. 7.3
Рис. 7.4

с определенной симметрией дело обстоит так, как будто поле вектора J определяется только токами $I^{\prime}$.

Пример. Найти поверхностный ток намагничивания, приходящийся на единицу длины цилиндра из однородного магнетика, если его намагниченность $\mathbf{J}$, причем вектор $\mathbf{J}$ направлен всюду вдоль оси цилиндра.

Применим уравнение (7.5) к контуру, выбранному так, как показано на рис. 7.5. Циркуляция вектора J по этому контуру
Рис. 7.5 равна, как нетрудно сообразить, произведению $J l$. Ток намагничивания здесь поверхностный. Если обозначить его линейную плотность буквой $i^{\prime}$, то рассматриваемый контур охватывает ток намагничивания $i^{\prime} l$. Из равенства $J l=i^{\prime} l$ получаем
\[
i^{\prime}=J \text {. }
\]

Отметим попутно, что векторы $\mathbf{i}^{\prime}$ и $\mathbf{J}$ взаимно перпендикулярны: $\mathbf{i}^{\prime} \perp \mathbf{J}$.