Поток вектора Е.
Для большей наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора Е) и еще, для упрощения рассуждений, будем считать, что густота линий E равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку $\mathrm{d} S$, нормаль $\mathbf{n}$ которой составляет угол $\alpha$ с вектором $\mathbf{E}$, определяется согласно рис. 1.3 как $E \mathrm{~d} S \cos \alpha$. Эта величина и есть поток $\mathrm{d} \Phi$ вектора $\mathbf{E}$ сквозь площадку $\mathrm{d} S$. В более компактной форме
\[
\mathrm{d} \Phi=E_{n} \mathrm{~d} S=\mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{S},
\]

где $E_{n}$ – проекция вектора $\mathbf{E}$ на нормаль $\mathbf{n}$ к площадке $\mathrm{d} S$; dSвектор, модуль которого равен $\mathrm{d} S$,
а направление совпадает с нормалью $\mathbf{n}$ к площадке. Заметим, что выбор направления вектора n (а следовательно, и dS) условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону.

Если имеется некоторая произвольная поверхность $S$, то поток вектора Е сквозь нее
\[
\Phi=\int_{S} \mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{S} .
\]

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля $\mathbf{E}$, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль n брать нар у ж области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль, что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться.

Хотя здесь речь шла о потоке вектора $\mathbf{E}$, понятие потока в равной степени относится к любому векторному полю.

Теорема Гаусса.
Поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность $S$ обладает удивительным и замечательным свойством: он зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно

где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.

Это выражение и составляет суть теорем м Гаусса: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на $\varepsilon_{0}$.

Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим поле одного точечного заряда $q$. Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью $S$ (рис. 1.4) и найдем поток вектора $\mathbf{E}$ сквозь элемент dS:
\[
\mathrm{d} \Phi=\mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{S}=E \mathrm{~d} S \cos \alpha=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \mathrm{~d} S \cos \alpha=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \mathrm{~d} \Omega,
\]

где $\mathrm{d} \Omega$ – телесный угол, опирающийся на элемент по-
Рис. 1.4
Рис. 1.5

верхности $\mathrm{d} S$, с вершиной в точке расположения заряда $q$. Интегрирование этого выражения по всей поверхности $S$ эквивалентно интегрированию по всему телесному углу, т. е. замене $\mathrm{d} \Omega$ на $4 \pi$, и мы получим $\Phi=q / \varepsilon_{0}$, как и требует формула (1.7).

Заметим, что при более сложной форме замкнутой по

верхности углы $\alpha$ могут быть больше $\pi / 2$, а значит, $\cos \alpha$ и $\mathrm{d} \Omega$ в (1.8) принимает, вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения. Итак, d $\Omega$ – величина алгебраическая: если $\mathrm{d} \Omega$ опирается на внутреннюю сторону поверхности $S$, то $\mathrm{d} \Omega>0$, если же на внешнюю сторону, то $\mathrm{d} \Omega<0$.

Отсюда, в частности, следует: если заряд $q$ расположен вне замкнутой поверхности $S$, то поток вектора E через нее равен нулю. Для этого достаточно провести из заряда $q$ коническую поверхность так, чтобы она оказалась касательной к замкнутой поверхности $S$. Тогда интегрирование выражения (1.8) по поверхности $S$ эквивалентно интегрированию по $\Omega$ (рис. 1.5): внешняя сторона поверхности $S$ будет видна из точки $q$ под углом $\Omega>0$, а внутренняя под углом – $\Omega$ (оба угла по модулю равны). В сумме получим нуль, и $\Phi=0$, что также совпадает с утверждением (1.7). На языке линий вектора $\mathbf{E}$ это означает, что сколько линий входит в объем, ограниченный поверхностью $S$, столько и выходит.

Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается системой точечных зарядов $q_{1}, q_{2}$ и т. д. В этом случае согласно принципу суперпозиции $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+$ $+\mathbf{E}_{2}+\ldots$, где $\mathbf{E}_{1}$ – поле, создаваемое зарядом $q_{1}$, и т. д. Тогда поток вектора $\mathbf{E}$ можно записать так:
$\oint \mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{S}=\oint\left(\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}+\ldots\right) \mathrm{d} \mathbf{S}=\oint \mathbf{E}_{1} \mathrm{~d} \mathbf{S}+\oint \mathbf{E}_{2} \mathrm{~d} \mathbf{S}+\ldots=\Phi_{1}+\Phi_{2}+\ldots$
Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части равен $q_{i} / \varepsilon_{0}$, если заряд $q_{i}$ находится внутри замкнутой поверхности $S$, и нулю, если снаружи поверхности $S$. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, которые находятся внутри поверхности $S$.

Для завершения доказательства теоремы остается учесть случай, когда заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем $\mathrm{d} V$ содержит «точечный» заряд $\rho \mathrm{d} V$. Тогда в правой части (1.7)
\[
q_{\text {внут }}=\int \rho \mathrm{d} V,
\]

где интегрирование проводится только по объему, заключенному внутри замкнутой поверхности $S$.

Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: в то время как само поле $\mathbf{E}$ зависит от

конфигурации в сех зарядов, поток вектора E сквозь произвольную замкнутую поверхность $S$ определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности $S$. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле Е изменится всюду, в частности, и на поверхности $S$, изменится, вообще говоря, и поток вектора Е через $S$. Однако если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности $S$, поток вектора Е через эту поверхность останется пр е жим, хотя, повторяем, само поле E может измениться, причем весьма существенно. Удивительное свойство электрического поля!