Дивергенция поля В.
Теорема Гаусса (6.14) для поля В в дифференциальной форме имеет вид
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе иет), а электрические токи.

Закон (6.23) является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.

С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к площади $S$, ограничеиной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу прн $S \rightarrow 0$, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором $\mathbf{n}$ нормали к плоскости контура, причем направление $\mathbf{n}$ связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную велнчину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали $\mathbf{n}$ к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля В и обозначают символом rot В. Таким образом,
\[
\lim _{S \rightarrow 0} \frac{\oint \mathbf{B} \mathrm{dl}}{S}=(\operatorname{rot} \mathbf{B})_{n},
\]

где справа стоит проекция вектора rot $\mathbf{B}$ на нормаль $\mathbf{n}$.
Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора го В определяется тем направлением нормали $\mathbf{n}$ площадки $S$, при котором достнгается максимальное значение величины (6.24), являющееся одновременно модулем вектора rot $\mathbf{B}$.

В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для наших целей важно другое: оказывается, формально го В можно рассматривать как векторное произведение оператора $
abla$ на вектор В, т. е. как $
abla \times$ B. Мы будем пользоваться последним, более удобным обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение $
abla \times$ В с помощью определителя:
\[

abla \times \mathbf{B}=\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{e}_{x} & \mathrm{e}_{y} & \mathrm{e}_{z} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{array}\right|
\]

где $e_{x}, e_{y}$, е $_{z}$ — орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля $\mathbf{B}$, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля $\mathbf{E}$.

Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора В. Согласно (6.24) уравнение (6.17) можно представить в виде
\[
\lim _{S \rightarrow 0} \frac{\oint \text { B dl }}{S}=\mu_{0} j_{n}
\]

или $(
abla \times \mathbf{B})_{n}=\mu_{0} j_{n}$. Отсюда

Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора В. Видно, что ротор поля В совпадает по направлению с вектором $\mathbf{j}$ плотностью тока в данной точке, а модуль $
abla \times$ В равен $\mu_{0} j$.

В электростатическом поле циркуляция вектора $\mathbf{E}$ равна нулю, поэтому

Векторное поле, ротор เкоторого всюду равен нулю, является потенциальным, в противном случае поле является соленоидальным. Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное.