Теорема Гаусса для поля вектора D.
Поскольку источниками поля E являются все электрические заряды сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля E можно записать так:
\[
\oint \varepsilon_{0} \mathbf{E} \mathbf{d} \mathbf{S}=\left(q+q^{\prime}\right)_{\text {внутр }},
\]

где $q$ и $q^{\prime}$ – сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью $S$. Появление связанных зарядов $q^{\prime}$ усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахождения поля $\mathbf{E}$ в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии. Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды $q^{\prime}$, которые в свою очередь определяются неизвестным полем E.

Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд $q^{\prime}$ через поток вектора $\mathbf{P}$ по формуле (3.6). Тогда выражение (3.15) можно преобразовать к такому виду:
\[
\oint\left(\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}\right) \mathrm{d} \mathbf{S}=q_{\text {внутр }} .
\]

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой D. Итак, мы нашли вспомогательный вектор D:

поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью:

Это утверждение называют т ео ремой $Г$ а у с с а для поля вектора D.

Заметим, что вектор D представляет собой сумму двух совершенно различных величин: $\varepsilon_{0} \mathbf{E}$ и Р. Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако свойство поля вектора D, выражаемое уравнением (3.18), оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэлектриках*.

Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного.

Как видно из выражения (3.17), размерность вектора D та же, что и вектора P. Единицей величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Дифференциальная форма уравнения (3.18):
т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.

Это уравнение можно получить из (3.18) тем же способом, как это было проделано в случае поля Е (см. с. 21). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить $\mathbf{E}$ на $\mathbf{D}$ и учесть лишь сторонние заряды. В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источник и поля $\mathbf{D}(\rho>0)$, а в тех точках, где она отрицательна,-сток и поля $\mathbf{D}(\rho<0)$.
Связь между векторами D и E. В случае изотропных диэлектриков поляризованность $\mathbf{P}=x \varepsilon_{0} \mathbf{E}$. Подставив это соотношение в (3.17), получим $\mathbf{D}=\varepsilon_{0}(1+x) \mathbf{E}$, или

где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества:
\[
\varepsilon=1+x .
\]
Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ (как и $x$ ) является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ $\varepsilon>1$, для вакуума $\varepsilon=1$. Значения $\varepsilon$ зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до нескольких тысяч (у некоторых керамик). Большое значение $\varepsilon$ имеет вода ( $\varepsilon=81$ ).

* Величину D часто называют электрическим смещением или электрической индукцией, однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер в ектора D.

Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору E. В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны.

Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий вектора D, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора $\mathbf{E}$. Линии вектора $\mathbf{E}$ могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и стоками поля E являются любы е заряды. Источниками же и стоками поля вектора D являются только сторонни заряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора D. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Замечание о поле вектора D.
Поле вектора D зависит, вообще говоря, как от сторонних, так и от связанных зарядов (как и поле вектора E). Об этом говорит уже соотношение $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathbf{E}$. Однако в некоторых случаях поле вектора D определяется только сторонними зарядами. Именно для таких случаев вектор $\mathbf{D}$ является особенно полезным. Вместе с тем это дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле $\mathbf{D}$ якобы зависит всегда только от сторонних зарядов и неверно трактовать законы (3.18) и (3.19). Эти законы выражают только определенное свойство поля вектора $\mathbf{D}$, само же поле этого вектора они не определяют.

Проиллюстрируем вышесказанное на нескольких примерах.

Пример 1.
Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом а из однородного изотропного диэлектрика проницаемости є. Найти напряженность $E$ поля как функцию расстояния $r$ от центра данного шара.

Симметрия системы позволяет для решения интересующего нас вопроса использовать теорему Гаусса для вектора D (воспользоваться аналогичной теоремой для поля $\mathbf{E}$ здесь не представляется возможным, поскольку нам не известен связанный заряд). Для сферы радиусом $r$ с центром в точке нахождения заряда $q$ можно записать: $4 \pi r^{2} D_{r}=q$. Отсюда находим $D_{r}$ и по формуле (3.20) искомую напряженность $E$ :
\[
E_{r}(r<a)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{\varepsilon r^{2}}, \quad E_{r}(r>a)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} .
\]

Графики зависимостей $D(r)$ и $E(r)$ показаны на рис. 3.4.

Пример 2.
Пусть система состоит из точечного заряда $q>0$ и произвольного куска однородного изотропного ди-

электрика (рис. 3.5), где $S$ – некоторая замкнутая поверхность. Выясним, что произойдет $c$ полем векторов $\mathbf{E} u \mathbf{D}$, a также $c$ их потоками сквозь поверхность $S$, если диэлектрик удалить.

В любой точке пространства поле Е обусловлено как зарядом $q$, так и связанными зарядами поляризованного диэлектрика. Так как в нашем случае $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathrm{E}$, то это относится и к полю вектора D: оно также определяется как сторонним зарядом $q$, так и связанными зарядами диэлектрика.

Удаление диэлектрика приведет к изменению поля $\mathbf{E}$, a значит, и поля D. Изменится и поток вектора E сквозь поверхность $S$, так как внутри этой поверхности исчезнут отрицательные связанные заряды. Поток же вектора D сквозь поверхность $S$ остается прежним, несмотря на изменение самого поля D.

Пример 3.
Рассмотрим систему, в которой нет сторонних зарядов, но имеются только связанные заряды. Такой системой может быть, например, шар из электрета (см. сноску на с. 63). На рис. 3.6, а показано поле Е такой системы. Что можно сказать о соответствующем поле вектора $\mathbf{D}$ ?

Рис. 3.5
Рис. 3.6

Прежде всего отсутствие сторонних зарядов означает, что нет источников поля $\mathbf{D}$ : линии вектора $\mathbf{D}$ нигде не начинаются и нигде не кончаются. Но поле D есть, оно показано на рис. $3.6,6$. Вне шара направления линий векторов E и D совпадают, внутри же шара их направления противоположны: здесь соотношение $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \varepsilon \mathbf{E}$ уже несправедливо, и $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}$.