Рассмотрим поведение векторов E и D сначала на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора $\mathbf{E}$ и теоремы Гаусса для вектора D:
\[
\oint \mathbf{E} \mathrm{d}=0, \quad \oint \mathbf{D} \mathrm{d} \mathbf{S}=q_{\text {внутр }} .
\]

Условие для вектора E.
Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике $l$ равно $\mathbf{E}_{1}$, а в диэлектрике 2 $\mathbf{E}_{2}$. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как показано на рис. 3.7.

Рис. 3.7
Рис. 3.8

Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле $\mathbf{E}$ в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора E
\[
E_{2 \mathrm{r}} l+E_{1 \mathrm{r}} i=0,
\]

где проекции вектора $\mathbf{E}$ взяты на направление обхода контура, указанное на рисунке стрелками. Если на нижнем участке контура проекцию вектора $\mathbf{E}$ взять не на орт $\vec{\tau}^{\prime}$, а на общий орт $\vec{\tau}$, то $E_{1 \tau^{\prime}}=-E_{1 \tau}$ и из предыдущего уравнения следует, что
т. е. тангенциальная составляющая вектора Е оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).

Условие для вектора D.
Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела двух диэлектриков (рис. 3.8). Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор D был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса для вектора D
\[
D_{2 n} \Delta S+D_{i n^{\prime}} \Delta S=\sigma \Delta S,
\]

где $\sigma$ — поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора $\mathbf{D}$ на общую нормаль $\mathrm{n}$ (она направлена от диэлектрика 1 к диэлектрику 2), получим $D_{1 n^{\prime}}=-D_{1 n}$, и предыдущее уравнение можно привести к виду

Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора D, вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют $(\sigma=0)$, то

в этом случае нормальные составляющие вектора D скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела.

Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие $E_{\tau}$ и $D_{n}$ изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же $E_{n}$ и $D_{\tau}$ претерпевают скачок.

Преломление линий E и D.
Полученные нами условия для составляющих векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ на границе раздела двух диэлектриков означают, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, преломляются (рис. 3.9). Найдем соотношение между углами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$.

Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то согласно (3.22) и (3.24) $E_{2 \tau}=E_{1 \tau}, \varepsilon_{2} E_{2 n}=\varepsilon_{1} E_{1 n}$. Из рис 3.9 следует, что
\[
\frac{\operatorname{tg} \alpha_{2}}{\operatorname{tg} \alpha_{1}}=\frac{E_{2 \mathrm{\tau}} / E_{2 n}}{E_{1 \mathrm{r}} / E_{1 n}} .
\]

Отсюда с учетом предыдущих условии получаем закон преломления линий $\mathbf{E}$, а значит, и линий $\mathbf{D}$ :
\[
\frac{\operatorname{tg} \alpha_{2}}{\operatorname{tg} \alpha_{1}}=\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}} .
\]

Это означает, что в диэлектрике с бо́льшим значением $\varepsilon$ линии $\mathbf{E}$ и D будут составлять бо́льший угол с нормалью к границе раздела (на рис. $3.9 \quad \varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$ ).

Пример.
Изобразим графически поля Е $и$ D у границы раздела двух однородных диэлектриков 1 и 2, считая, что $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$ и что стороннего заряда на этой поверхности нет.
Так как $\varepsilon_{2}>\varepsilon_{1}$, то согласно (3.25) $\alpha_{2}>\alpha_{1}$ (рис. 3.10).

Далее, из равенства тангенциальной составляющей вектора Е нетрудно сообразить с помощью рис. 3.9 , что по модулю $E_{2}<E_{1}$,

Рис. 3.9
Рис. 3.10

т. е. линии вектора $\mathbf{E}$ в диэлектрике 1 должны быть гуще, это и показано на рис. 3.10. Из равенства же. нормальных составляющих вектора D также нетрудно заключить, что по модулю $D_{2}>D_{1}$, т. е. линии вектора D должны быть гуще в диэлектрике 2.

Мы видим, что в нашем случае линии вектора E испытывают преломление и, кроме того, терпят разрыв (из-за наличия связанных зарядов), линии же вектора D испытывают только преломление, без разрыва (так как сторонних зарядов на границе нет).

Условие на границе проводник — диэлектрик. Если среда 1 — проводник, а среда 2 — диэлектрик (см. рис. 3.8 ), то из формулы (3.23) следует, что

где $\mathbf{n}$ — внешняя по отношению к проводнику нормаль (двойка в индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в данном случае). Убедимся в справедливости формулы (3.26). В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника $\mathbf{E}=0$, значит, и поляризованность $\mathbf{P}=0$. А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и вектор $\mathbf{D}=0$ внутри проводника, т. е. в обозначениях формулы (3.23) $\mathbf{D}_{1}=0$ и $D_{1 n}=0$. Остается $D_{2 n}=\sigma$.

Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности $\sigma^{\prime}$ (напомним, что для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов $\rho^{\prime}=$

$=0)$. Применим теперь теорему Гаусса к вектору $\mathbf{E}-$ аналогично тому, как это было сделано при выводе формулы (2.2). Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды ( $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$ ), придем к следующему выражению: $E_{n}=\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right) / \varepsilon_{0}$. С другой стороны, согласно (3.26) $E_{n}=D_{n} / \varepsilon \varepsilon_{0}=\sigma / \varepsilon \varepsilon_{0}$. Из этих двух уравнений находим: $\sigma / \varepsilon=\sigma+\sigma^{\prime}$, откуда

Видно, что поверхностная плотность $\sigma^{\prime}$ связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью $\sigma$ стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.