Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению $U$ ):

где $R$ — электрическое сопротивление проводника.
Единицей сопротивления служит ом (Ом).
Сопротивление $R$ зависит от формы и размеров проводника, от его материала и температуры, а также — это следует помнить — от конфигурации (распределения) тока по проводнику. В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомнений. В более общем случае объемного распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или расположение подводящих к интересующему нас проводнику проводов, или конфигурация тока.

В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивление
\[
R=\rho \frac{l}{S}
\]

где $l$ — длина проводника; $S$ — площадь его поперечного сечения; $\rho$-удельное электрическое со-
противление. Последнее зависит от материала проводника и его температуры. Выражают $\rho$ в ом-м етр ах (Ом $\mathrm{M})$.

Значения удельного электрического сопротивления для наиболее хороших проводников (медь, алюминий) составляют при комнатной температуре несколько единиц на $10^{-8} \mathrm{OM} \cdot \mathrm{m}$.

Закон Ома в дифференциальной форме. Найдем связь между плотностью тока $\mathbf{j}$ и полем $\mathbf{E}$ в той же точке проводящей среды. Ограничимся случаем изотропного проводника, в котором направления векторов $\mathbf{j}$ и $\mathbf{E}$ совпадают.

Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору $\mathbf{j}$, а значит, и вектору Е. Если поперечное сечение цилиндра $\mathrm{d} S$, а его длина $\mathrm{d} l$, то на основании (5.8) и (5.9) можно записать для такого элементарного цилиндра
\[
j \mathrm{~d} S=\frac{E \mathrm{~d} l}{\rho \mathrm{d} l / \mathrm{d} S},
\]

и после соответствующих сокращений получим, уже в векторном виде,

где $\sigma=1 / \rho-$ дельная электропроводимость среды. Единицу, обратную ому, называют сим ен сом (См), поэтому единицей $\sigma$ является с и м н с н а метр ( $\left.\mathrm{C}_{\mathrm{M} / \mathrm{M}}\right)$.

Соотношение (5.10) и выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не содержит дифференциалов (производных), а свое название получило потому, что в нем устанавливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе говоря, соотношение (5.10) выражает локальный закон Ома.

Способы вычисления сопротивления R.
Существует несколько таких способов, и все они, в конечном счете, основаны на использовании соотношений (5.8) — (5.10). Целесообразность применения того или иного способа в каждом случае зависит от конкретной постановки задачи и от характера ее симметрии. Как это практически делается, показано на примерах задач 5.1-5.3 и 5.6. О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного провод-

ника всюду равен нулю. В самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (5.5). Перепишем его с учетом закона (5.10) в виде
\[
\oint \sigma \mathbf{E} d \mathbf{S}=0,
\]

где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности $S$ внутри проводника. Для однородного проводника величину $\sigma$ можно вынести из-под интеграла:
\[
\sigma \oint \mathbf{E} \mathbf{S}=0 .
\]

Оставшийся интеграл согласно теореме Гаусса пропорционален алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхности $S$, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из последнего равенства сразу видно, что этот интеграл равен нулю (ибо $\sigma
eq$ $
eq 0)$, а значит, равен нулю и избыточный заряд. В силу произвольности поверхности $S$ мы заключаем, что избыточный заряд в этих условиях всюду внутри проводника равен нулю.

Избыточный заряд может появиться только на поверхности однородного проводника, в местах соприкосновения с другими проводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.

Электрическое поле проводника с током.
Итак, при протекании тока на поверхности проводника (область неоднородности) выступает избыточный заряд, а это означает согласно (2.2), что снаружи проводника имеется нормальная составляющая вектора Е. Далее, из непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е мы приходим к выводу о наличии и тангенциальной составляющей этого вектора вблизи поверхности проводника. Таким образом, вектор Е вблизи поверхности проводника составляет (при наличии тока) некоторый не равный нулю угол $\alpha$ (рис. 5.1); при отсутствии тока $\alpha=0$.

И еще. Если токи стационарны, то распределение электрических зарядов в проводящей среде (вообще говоря, неоднородной) не меняется во времени, хотя и происходит движение зарядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигурации. Стало быть, электрическое поле стационарных токов — поле потенциальное.

Вместе с тем электрическое поле в случае стационарных токов существенно отличается от электростатического — кулоновского поля неподвижных зарядов. Последнее внутри проводников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в движении. Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри проводников с током.