Мы выяснили, что в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет – вещество внутри проводника электрически нейтрально. А поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменит, т. е. никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же, как и на сплошном – по его наружной поверхности.

Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю. Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля. Именно на этом основана электростатическая защита экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Практически сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой.

Доказать отсутствие электрического поля в пустой полости можно и иначе. Возьмем замкнутую поверхность $S$, которая охватывает полость и целиком находится в веществе проводника. Так как поле $\mathbf{E}$ всюду в проводнике равно нулю, то и поток вектора Е через $S$ тоже равен нулю. Отсюда согласно теореме Гаусса равен нулю и суммарный заряд внутри $S$. Это, правда, не исключает ситуации, показанной на рис. 2.5 , когда на поверхности самой полости имеются равные количества поло-

жительного и отрицательного зарядов. Такое предположение, однако, запрещает другая теорема – теорема о циркуляции вектора Е. В самом деле, пусть контур $\mathbf{\Gamma}$ пересекает полость по одной из линий вектора $\mathbf{E}$ и замыкается в веществе проводника. Ясно, что линейный интеграл вектора Е вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о циркуляции быть не может. Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в ней есть какой-то электрический заряд $q$ (может быть и не один). Представим себе также, что все внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов.

Рис. 2.5
Рис. 2.6

Так как всюду в проводнике $\mathbf{E}=0$, то равным нулю будет и поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую полость. По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также будет равна нулю. Таким образом, алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внутри этой полости.

При равновесии заряды, индуцированные на поверхности полости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости.

Поскольку проводящая среда внутри всюду электрически нейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле. Поэтому, если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется равным нулю.

Таким образом, поле зарядов, окруженных проводящей оболочкой, и зарядов, индуцированных на поверхности полости (на внутренней поверхности оболочки), равно нулю во всем внешнем пространстве.

Мы приходим к следующему важному выводу: замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а значит, распределение зарядов на внешней поверхности оболочки останется прежним. То же относится и к полю внутри полости (если там есть заряды) и к распределению индуцированных на стенках полости зарядов – они также останутся неизменными в результате перемещения зарядов вне оболочки. Все сказанное справедливо, разумеется, только в рамках электростатики.

Пример. Точечный заряд q находится внутри электрически нейтральной оболочки, наружной поверхностью которой является сфера (рис. 2.6). Найти потенциал ф в точке $P$, находящейся вне оболочки на расстоянии $r$ от центра $O$ наружной поверхности.

Поле в точке $P$ определяется только зарядами, индуцированными на наружной поверхности оболочки – сфере, ибо, как было показано, поле точечного заряда $q$ и зарядов, индуцированных на внутренней поверхности оболочки, равно всюду нулю вне полости. Далее, заряд на наружной оболочке вследствие ее симметрии распределяется равномерно, поэтому
\[
\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r} .
\]

Частным случаем замкнутой проводящей оболочки является безграничная проводящая плоскость. Все пространство с одной стороны такой плоскости в электрическом отношении независимо от пространства с другой стороны ее.

Указанным свойством замкнутой проводящей оболочки мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно.