Энергия уединенного проводника.
Пусть проводник имеет заряд $q$ и потенциал $\varphi$. Поскольку значение $\varphi$ во всех точках, где имеется заряд, одинаково, $\varphi$ можно вынести из-под знака интеграла в формуле (4.4). Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд $q$ на проводнике, и

Эти три выражения написаны с учетом того, что $C=q / \varphi$. Энергия конденсатора. Пусть $q$ и $\varphi_{+}$- заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора.

Согласно формуле (4.4) интеграл можно разбить на две части — для одной и другой обкладок. Тогда
\[
W=1 / 2\left(q_{+} \varphi_{+}+q_{-} \varphi_{-}\right) .
\]

Таккак $q_{-}=-q_{+}$, то
\[
W=1 / 2 q_{+}\left(\varphi_{+}-\varphi_{-}\right)=1 / 2 q U,
\]

где $q=q_{+}$- заряд конденсатора, $U$ — разность потенциалов на его обкладках. Приняв во внимание, что $C=$ $=q / U$, получим следующие выражения для энергии конденсатора:

Здесь надо заметить, что эти формулы определяют полную энергию взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов внутри каждой обкладки.

А если есть диэлектрик?
Мы сейчас убедимся, что формулы (4.6) и (4.7) справедливы и при наличии диэлектрика. С этой целью рассмотрим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порциями $d q^{\prime}$ с одной обкладки на другую.

Элементарная работа, совершенная нами при этом против сил поля, запишется как
\[
\delta A=U^{\prime} \mathrm{d} q^{\prime}=\left(q^{\prime} / C\right) \mathrm{d} q^{\prime},
\]

где $U^{\prime}$ — разность потенциалов между обкладками в момент, когда переносится очередная порция заряда $\mathrm{d} q^{\prime}$.

Проинтегрировав это выражение по $q^{\prime}$ от 0 до $q$, получим
\[
A=q^{2} / 2 C,
\]

что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Значит, совершаемая нами работа против сил электрического поля целиком идет на создание энергии $W$ заряженного конденсатора. Кроме того, полученное выражение для работы $A$ справедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик. Этим самым мы доказали справедливость формул (4.7) и при наличии диэлектрика.

Все сказанное относится, очевидно, и к формулам (4.6).