Расчет разветвленных цепей, например нахождение токов в отдельных ее ветвях, значительно упрощается, если пользоваться двумя пра в и ами Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа – оно относится к узлам цепи, т. е. к точкам ее разветвления: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
\[
\sum I_{k}=0 .
\]

При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков, например: первые – положительными, вторые – отрицательными (или наоборот – это не существенно). Применительно к рис. 5.4 уравнение (5.17) запишется так:
\[
I_{1}-I_{2}+I_{3}=0 .
\]

Рис. 5.4
Рис. 5.5

Уравнение (5.17) является следствием условия стационарности (5.7); если бы это было не так, в узле изменялся бы заряд и токи не были бы стационарными.

Второе правило Кирхгофа – оно относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме э. д. с., действующих в этом контуре:
\[
\sum I_{k} R_{k}=\sum \mathscr{E}_{k}
\]

Для доказательства этого правила достаточно рассмотреть случай, когда выделенный контур состоит из трех участков (рис. 5.5). Зададим направление обхода, например, по часовой стрелке, как показано на рисунке. Затем применим к каждому из трех участков закон Ома (5.15):
\[
\begin{array}{l}
I_{1} R_{1}=\varphi_{2}-\varphi_{3}+\mathscr{Z}_{1}, \\
I_{2} R_{2}=\varphi_{3}-\varphi_{1}+\mathscr{Z}_{2}, \\
I_{3} R_{3}=\varphi_{1}-\varphi_{2}+\mathscr{Z}_{3} .
\end{array}
\]

Сложив эти равенства, приходим после сокращения всех потенциалов к формуле (5.18), т. е. ко второму правилу Кирхгофа.

Таким образом, уравнение (5.18) является следствием закона Ома для неоднородных участков цепи.

Составление системы уравнений.
Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему алгебраических уравнений, из которой могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

Уравнений (5.17) и (5.18) надо составлять столько, чтобы их число было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других:
1) если в разветвленной цепи имеется $N$ узлов, то независимые уравнения типа (5.17) можно составить лишь для $N-1$ узлов; уравнение для последнего узла будет следствием предыдущих;
Рис. 5.6
Рис. 5.7
2) если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (5.18) можно составить только для тех контуров, которые не получаются в результате наложения уже рассмотренных. Например, для цепи (рис. 5.6) такие уравнения для контуров 124 и 234 будут независимыми. Уравнение же для контура 1234 является следствием двух

предыдущих. Можно составить независимые уравнения для двух других контуров, например для контуров 124 и 1234, но тогда уравнение для контура 234 будет следствием двух первых. Число независимых уравнений типа (5.18) оказывается равным наименьшему числу разрывов, которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все контуры. Это число, кстати, равно числу областей, ограниченных проводниками, если схему удастся, изобразить на плоскости без пересечений.

Например, для цепи (рис. 5.7), содержащей четыре узла, надо составить три уравнения типа (5.17) и три уравнения типа (5.18), ибо минимальное число разрывов (они помечены крестиками), нарушающее все контуры, равно трем (трем равно и число областей). Если неизвестными являются токи, то их число равно шести – по числу отдельных участков между узлами, что соответствует числу независимых уравнений.

При составлении уравнений типа (5.17) и (5.18) необходимо поступать так.
1. Обозначить стрелками предположительные направления токов, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если в результате вычисления окажется, что такой-то ток положителен, то это значит, что его направление выбрано правильно. Если же ток окажется отрицательным, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.
2. Выбрав произвольно замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении, например по часовой стрелке. Если предположительное направление некоторого тока совпадает с выбранным направлением обхода, то соответствующее слагаемое $I R$ в уравнении (5.18) надо брать со знаком плюс, если же эти направления противоположны, то со знаком минус. Аналогично следует поступать и с $\mathscr{E}$ : если какая-то э. д. с. $\mathscr{E}$ повышает по-
Рис. 5.8
тенциал в направлении обхода, ее надо брать со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Пример.
Найти силу тока и его направление через сопротивление $R$ в схеме (рис. 5.8). Все сопротивления и э.д. с. предполагаются известными.
Здесь три участка, следовательно, три неизвестных тока $I$,

$I_{1}$ и $I_{2}$. Обозначим стрелками (не задумываясь) их предположительные направления (у правого узла).

Цепь содержит $N=2$ узла. Значит, независимых уравнений типа (5.17) только одно:
\[
I+I_{1}+I_{2}=0 .
\]

Теперь составим уравнения типа (5.18) – их должно быть два (по числу областей). Возьмем контур, содержащий $R$ и $R_{1}$, и контур с $R$ и $R_{2}$. Выбрав направление обхода каждого контура по часовой стрелке, запишем
\[
-I R+I_{1} R_{1}=-\mathscr{I}_{1}, \quad-I R+I_{2} R_{2}=\mathscr{g}_{2} .
\]

Полезно убедиться, что соответствующее уравнение для контура, содержащего $R_{1}$ и $R_{2}$, является следствием этих двух. Решив систему написанных трех уравнений, получим
\[
I=\frac{-R_{1} \mathscr{E}_{2}+R_{2} \mathscr{E}_{1}}{R_{1} R_{2}+R R_{1}+R R_{2}} .
\]

Если после подстановки числовых значений окажется, что $I>0$, то это значит, что в действительности ток течет так, как мы предположили на рис. 5.8 , если же $I<0$, то в противоположном направлении.