Уравнения Максвелла линейны.
Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов $\rho$ и токов $\mathbf{j}$. Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда. Чтобы убедиться в этом, возьмем бесконечно малый контур $\mathrm{\Gamma }$, натянем на него произвольную конечную поверхность $S$ (рис. 10.3), а затем стянем этот контур в точку, оставляя поверхность $S$ конечной. В пределе циркуляция $\oint \mathbf{H}$ dl обращается в нуль, поверхность $S$ становится замкнутой и первое из уравнений (10.11) перейдет в
$$\oint (\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t})\mathrm{d}\mathbf{S}=0.$$

Отсюда следует, что
$$\oint \mathbf{j}\mathrm{d}\mathbf{S}=-\frac{\partial }{\partial t}\oint \mathbf{D}\mathrm{d}\mathbf{S}=-\frac{\partial q}{\partial t},$$

а это и есть не что иное, как уравнение непрерывности (5.4), которое утверждает, что ток, вытекающий из объема $V$ через замкнутую поверхность $S$, равен убыли заряда в единицу времени внутри этого объема $V$.
Тот же закон (уравнение непрерывности) можно получить и из дифференциальных уравнений Максвелла. Достаточно взять дивергенцию от обеих частей первого из уравнений (10.14) и воспользоваться вторым из уравнений (10.13), и мы получим $abla\cdot \mathbf{j}=-\partial \rho /\partial t$.

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета.
Они являются релятивистски инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла (относительно преобразований Лоренца) подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам. Как при этом преобразуются векторы Е и В, мы выяснили в гл. 8.

Итак, уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.

О симметрии уравнений Максвелла.
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено опять же тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных (насколько известно в настоящее время). Вместе с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где $\rho =0$ и $\mathbf{j}=0$, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т. е. Е так связано с $\partial \mathbf{B}/\partial t$, как В с $\partial \mathbf{E}/\partial t$ :
\[
\begin{array}{ll}

abla \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t, &
abla \cdot \mathbf{D}=0, \

abla \times \mathbf{H}=\partial \mathbf{D} / \partial t, &
abla \cdot \mathbf{B}=0 .
\end{array}
\]

Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного полей не распространяется лишь на знак перед производными $\partial \mathbf{B}/\partial t$ и $\partial \mathbf{D}/\partial t$. Различие в знаках перед этими производными показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля В, образуют с вектором $\partial \mathbf{B}/\partial t$ левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением $\mathbf{D}$, образуют с вектором $\partial \mathbf{D}/\partial t$ правовинтовую систему (рис. 10.4).

О электромагнитных волнах.
Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света $c$.
Выяснилось также, что ток
Рис. 10.4

смещения ( $\partial \mathbf{D}/\partial t)$ играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной $\partial \mathbf{B}/\partial t$ и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться — электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства, а именно: любая электромагнитная волна независимо от ее конкретной формы (это может быть гармоническая волна или электромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется следующими общими свойствами:

1) ее скорость распространения в непроводящей нейтральной неферромагнитной среде
$$v=c/\sqrt{\epsilon \mu },\text{ где }c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0};$$
2) векторы E, B и $\mathbf{v}$ (скорость волны) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис. 10.5). Такое правовинтовое соотношение является внутренним свойством электромагнитной волны, не зависящим ни от какой координатной системы;
3) в электромагнитной волне векторы Е и В всегда колеблются в одинаковых фазах (рис. 10.6, где показана мгновенная «фотография» волны), причем между мгновенными значениями $E$ и $B$ в любой точке существует определенная связь, а именно $E=vB$, или
$$\sqrt{\epsilon {\epsilon }_0}E=\sqrt{\mu {\mu }_0}H.$$

Это значит, что $E$ и $H$ (или $B$ ) одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

Понимание того, что из дифференциальных уравнений (10.18) вытекала возможность существования электромагнитных волн, позволило Максвеллу с блестящим успехом развить электромагнитную теорию света.