Ферромагнетики.
В магнитном отношении все вещества можно разделить на слабомагнитные (парамагнетики и диамагнетики) и сильномагнитные (ферромагнетики). Пара- и диамагнетики при отсутствии магнитного поля, как мы знаем, не намагничены и характеризуются однозначной зависимостью (7.14) намагниченности Ј от Н.

Ферромагнетиками называют вещества (твердые), которые могут обладать спонтанной намагниченностью, т. е. намагничены уже при отсутствии внешнего магнитного поля. Типичные представители ферромагнетиков — это железо, кобальт и многие их сплавы.

Основная кривая намагничения.
Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная зависимость J (Н) или В (Н). На рис. 7.12 дана кривая намагничения ферромагнетика, намагниченность которого при $\mathbf{H}=0$ тоже равна нулю, ее называют ос нов ной кривой намагничения. Уже при сравнительно небольших значениях $H$ намагниченность $J$ достигает насыщения $J_{\text {нас }}$. Магнитная индукция $B=\mu_{0}(H+J)$ также растет с увеличением $H$, а после достижения состояния насыщения $B$ продолжает расти с увеличением $H$ по линейному закону: $B=\mu_{0} H+$ const, где const $=\mu_{0} J_{\text {нас }}$. На

Рис. 7.12
Рис. 7.13

рис. 7.13 приведена основная кривая намагничения на диаграмме $B-H$.
Ввиду нелинейной зависимости $B(H)$ для ферромагнетиков нельзя ввести магнитную проницаемость $\mu$ как определенную постоянную величину, характеризующую магнитные свойства каждого данного ферромагнетика. Однако по-прежнему считают, что $\mu=B / \mu_{0} H$, при этом $\mu$ является функцией $H$ (рис. 7.14). Магнитная проницаемость $\mu_{\text {макс }}$ для ферромагнетиков может достигать очень больших значений. Так, например, для чистого железа — 5000, для сплава супермаллой — 800000.

Заметим, что понятие магнитной проницаемости применяют только к основной кривой намагничения, ибо, как мы сейчас увидим, зависимость $B(H)$ неоднозначна.

Магнитный гистерезис.
Кроме нелинейной зависимости $B(H)$ или $J(H)$ для ферромагнетиков характерно также явление магнитного гист ер з и с а: связь между $B$ и $H$ или $J$ и $H$ оказывается неоднозначной, а определяется предшествующей историей намагничивания ферромагнетика. Если первоначально ненамагниченный ферромагнетик намагничивать, увеличивая $H$ от нуля до значения, при котором наступает насыщение (точка 1 на рис. 7.15 ), а затем уменьшать $H$ от $H_{1}$ до $-H_{1}$, то кривая намагничения $B(H)$ пойдет не по первоначальному пути 10 , а выше по пути 1234 . Если дальше изменять $H$ в обратном направлении от $-H_{1}$ до $+H_{1}$, то кривая намагничения пройдет ниже — по пути 4561 .

Получившуюся замкнутую кривую называют п е т л е й гистерезиса. В том случае, когда в точках 1 и 4 достигается насыщение, получается максимальная петля гистерезиса. Когда же в крайних точках ( 1 и 4) насыщения нет, получаются аналогичные петли гистерезиса, но меньшего размера, как бы вписанные в максимальную петлю гистерезиса.

Из рис. 7.15 видно, что при $H=0$ намагничивание не исчезает (точка 2) и характеризуется величиной $B_{r}$, называемой остаточной индукцией. Ей соответствует остаточная намагниченность $J_{r}$. С наличием такого остаточного намагничивания связано существование постоянных магнитов. Величина $B$ обращается в нуль (точка 3) лишь под действием поля $H_{c}$, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничивание. Величина $H_{c}$ называется коэ рцит и в нй силой.

Значения $B_{r}$ и $H_{c}$ для разных ферромагнетиков меняются в широких пределах. Для трансформаторного железа петля гистерезиса узкая ( $H_{c}$ мало), для ферромагнетиков, используемых для изготовления постоянных магнитов,широкая ( $H_{c}$ велико, например, для сплава алнико $H_{c}=$ $=50000 \mathrm{~A} / \mathrm{M}, B_{r}=0,9$ Тл).

На этих особенностях кривых намагничения основан удобный практический прием для размагничивания ферромагнетика. Намагниченный образец помещают в катушку, по которой пропускают переменный ток и амплитуду его постепенно уменьшают до нуля. При этом ферромагнетик подвергается многократным циклическим перемагничиваниям, в которых петли гистерезиса постепенно уменьшаются, стягиваясь к точке $O$, где намагниченность равна нулю.

Опыт показывает, что при перемагничивании ферромагнетик нагревается. Можно показать, что в единице объема ферромагнетика выделяется при этом теплота $Q_{\text {ед }}$, численно равная «площади» $S_{n}$ петли гистерезиса:
\[
Q_{\mathrm{eд}}=\oint H \mathrm{~d} B=S_{n} .
\]

Температура Кюри.
При повышении температуры способность ферромагнетиков намагничиваться уменьшается, в частности, уменьшается намагниченность насыщения. При некоторой температуре, называемой темп е р т ур ой или точкой Кюри, ферромагнитные свойства исчезают.

При температурах, более высоких, чем температура Кюри, ферромагнетик превращается в парамагнетик.

О теории ферромагнетизма.
Физическую природу ферромагнетизма удалось понять только с помощью квантовой механики. При определенных условиях в кристаллах могут возникать так называемые об м е н ны е с и л, которые заставляют магнитные моменты электронов устанавливаться параллельно друг другу. В результате возникают области (размером 1-10 мкм) спонтанного, т. е. само-

произвольного, намагничивания — эти области называют до м е н а м и. В пределах каждого домена ферромагнетик намагничен до насыщения и имеет определенный магнитный момент. Направления этих моментов для разных доменов различны, поэтому при отсутствии внешнего поля суммарный момент образца равен нулю и образец в целом представляется макроскопически ненамагниченным.

При включении внешнего магнитного поля домены, ориентированные по полю, растут за счет доменов, ориентированных против поля. Такой рост в слабых полях имеет обратимый характер. В более сильных полях происходит одновременная переориентация магнитных моментов в пределах всего домена. Этот процесс является необратимым, что и служит причиной гистерезиса и остаточного намагничивания.

Задачи

— 7.1. Условия на границе раздела. Вблизи точки $A$ (рис. 7.16) границы раздела магнетик — вакуум магнитная индукция в вакууме равна $B_{0}$, причем вектор $\mathbf{B}_{0}$ составляет угол $\alpha_{0}$ с нормалью к границе раздела в данной точке. Магнитная проницаемость магнетика равна $\mu$. Найти магнитную индукцию $B$ в магнетике вблизи той же точки $A$.

Решение. Искомая величина
\[
B=\sqrt{B_{n}^{2}+B_{\tau}^{2}}
\]

Имея в виду условия (7.20) и (7.22) на границе раздела, найдем
\[
\begin{array}{c}
B_{n}=B_{0} \cos \alpha_{0}, \\
B_{\tau}=\mu \mu_{0} H_{\tau}=\mu \mu_{0} H_{0 \tau}=\mu B_{0 \tau}=\mu B_{0} \sin \alpha_{0},
\end{array}
\]

где $H_{0 t}$ — тангенциальная составляющая вектора $\mathbf{H}_{0}$ в вакууме. Подставив эти выражения в (1), получим
\[
B=B_{0} \sqrt{\cos ^{2} \alpha_{0}+\mu^{2} \sin ^{2} \alpha_{0}} .
\]
— 7.2. Поверхностный ток намагничивания. Длинный тонкий проводник с током I расположен перпендикулярно плоской границе раздела вакуум — магнетик (рис. 7.17). Проницаемость магнетика $\mu$. Найти линейную плотность поверхностного тока намагничивания $i^{\prime}$ на этой границе раздела в зависимости от расстояния $r$ до проводника.

Решение. Прежде всего о конфигурации поверхностного тока намагничивания. Из рис. 7.17 нетрудно сообразить, что этот ток направлен радиально. Воспользуемся теоремой о циркуляции намагниченности $\mathbf{J}$, взяв в качестве контура небольшой прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна току намагничивания в данном месте. Расположение этого контура показано на рис. 7.18 , где крестиками отмечено направление поверхностного тока намагничивания. Из равенства $J l=i^{\prime} l$ получим $i^{\prime}=J$. Далее, $J=\chi H$, где $H$ находим из циркуляции вектора Н по окружности радиусом $r$ с центром на оси проводника: $2 \pi r H=I$ (из соображений симметрии ясно, что линии вектора Н должны иметь вид окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных проводнику с током $I$ ). В результате находим
\[
i^{\prime}=(\mu-1) I / 2 \pi r .
\]

— 7.3. Циркуляция вектора Н. Прямой длинный тонкий проводник с током I лежит в плоскости, отделяющей пространство, которое заполнено непроводящим магнетиком с проницаемостью $\mu$, от вакуума. Найти магнитную индукцию $B$ во всем пространстве как функцию расстояния $r$ до проводника. Иметь в виду, что линии вектора В являются окружностями с центром на оси проводника.

Решение. Ясно, что линии вектора Н являются тоже окружностями, причем на границе раздела вакуум — магнетик вектор Н будет испытывать скачок (в отличие от вектора В). Обозначим $\mathbf{~ и ~ и ~} \mathbf{H}_{0}$ магнитное поле соответственно в магнетике и вакууме. Тогда по теореме о циркуляции вектора $\mathbf{H}$ по контуру, имеющему вид окружности радиусом $r$ с центром на оси проводника, имеем
\[
\pi r H+\pi r H_{0}=I .
\]

Кроме того, на границе раздела $B=B_{0}$ или
\[
\mu H=H_{0} .
\]

Решив совместно уравнения (1) и (2), получим
\[
H=\frac{l}{(1+\mu) \pi r}, \quad B=\mu \mu_{0} H=\frac{\mu \mu_{0} t}{(1+\mu) \pi r} .
\]

Конфигурация полей В и Н в данном случае показана на рис. 7.19. Полезно убедиться в том, что при $\mu=1$ мы приходим к известным нам формулам для $B$ и $H$ в вакууме.
Рис. 7.19

— 7.4. Циркуляция векторов Н и Ј. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения радиусом $R$. Материалом провода является парамагнетик с восприимчивостью $\chi$. Найти: 1) зависимость поля $B$ от расстояния $r$ до оси провода; 2) плотность тока намагничивания $j^{\prime}$ внутри провода.

Решение. 1.
Из циркуляции вектора Н по окружности радиусом $r$ с центром на оси провода следует, что
\[
\begin{array}{ll}
r<R, & 2 \pi r H=I(r / R)^{2}(H \sim r), \\
r>R, & 2 \pi r H=I(H \sim 1 / r) .
\end{array}
\]

На рис. 7.20 показаны графики зависимостей $H(r)$ и $B(r)$.

2. Воспользуемся теоремой о циркуляции намагниченности $\mathbf{J}$ намагничивания, охватываемый этим контуром. Найдем дифференциал этого выражения (при переходе от $r$ к $r+\mathrm{d} r$ ):
\[
2 \pi \mathrm{d}(r J)=\mathrm{d} I^{\prime} .
\]

Так как $\mathrm{d} I^{\prime}=j^{\prime} 2 \pi r \mathrm{~d} r$, то предыдущее уравнение можно преобразовать к виду
\[
j^{\prime}=\frac{J}{r}+\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{~d} r} .
\]

Теперь учтем, что $J=\chi H=\left(\chi I / 2 \pi R^{2}\right) r$. Тогда получим
\[
j^{\prime}=\chi I / \pi R^{2} \text {. }
\]

Нетрудно сообразить, что этот ток течет в ту же сторону, что и ток
проводимости (в отличие от поверхностного тока намагничивания, текущего в противоположную сторону).

— 7.5. Длинный соленоид заполнен неоднородным изотропным парамагнетиком, восприимчивость которого зависит только от расстояния $r$ до оси соленоида как $\chi=a r^{2}$, где а — постоянная. На оси соленоида магнитная индукция равна $B_{0}$. Найти зависимость от расстояния $r$ : 1) намагниченности, $J(r)$; 2) плотности тока намагничивания, $j^{\prime}(r)$.

Решение. 1.
Намагниченность $J=\chi H$. В нашем случае $H$ не зависит от $r$ (это непосредственно следует из циркуляции вектора Н по контуру, показанному на рис. 7.21 слева). Поэтому $H=H_{0}$ — на оси соленоида, и мы получаем
\[
J=a r^{2} H_{0}=a r^{2} B_{0} / \mu_{0} .
\]
2. Из теоремы о циркуляции намагниченности $\mathbf{J}$ по бесконечно узкому контуру, показанному на рис. 7.21 справа, следует
\[
J l-(J+\mathrm{d} J) l=j_{n}^{\prime} l \mathrm{~d} r,
\]

где $l$ — высота контура; $\mathrm{d} r$ — его ширина. Отсюда
\[
j_{n}^{\prime}=-\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{~d} r}=-\frac{2 a B_{0}}{\mu_{0}} r .
\]

Знак минус показывает, что вектор $\mathbf{j}^{\prime}$ направлен против вектора нормали $\mathbf{n}$, образующего с направлением обхода контура правовинтовую систему. Другими словами, вектор $\mathbf{j}^{\prime}$ направлен в месте расположения правого (на рисунке) контура на нас, т. е. объемные токи намагничивания образуют с вектором $\mathbf{B}_{0}$ левовинтовую систему.

— 7.6. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца равен д. Ширина зазора $b$, магнитная индукция поля в зазоре В. Пренебрегая рассеянием поля на краях зазора, найти модули векторов $\mathbf{H}$ и $\mathbf{J}$ внутри вещества.

Решение.
Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора Н по пунктирной окружности диаметром $d$ (рис. 7.22) и учитывая, что токов проводимости нет, запишем
\[
(\pi d-b) H_{\tau}+b B / \mu_{0}=0,
\]

где $H_{\tau}$ — проекция вектора $\mathbf{H}$ на направление обхода контура (оно взято совпадающим с направлением вектора В в зазоре). Отсюда
\[
H_{\tau}=-\frac{b B}{\mu_{0}(\pi d-b)} \approx-\frac{b B}{\mu_{0} \pi d} .
\]

Знак минус показывает, что направление вектора Н внутри вещества магнита противоположно вектору В в той же точке. Заметим, что при $b \rightarrow 0$ и $H \rightarrow 0$.

Модуль намагниченности $\mathbf{J}$ найдем по формуле (7.11), используя результат (1):
\[
J=\frac{B / \mu_{0}}{1-b / \pi d} \approx \frac{B}{\mu_{0}} .
\]

Соотношение между векторами $\mathbf{B} / \mu_{0}$, Н и $\mathbf{J}$ в любой точке вещества магнита показано на рис. 7.23.

— 7.7. На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром д имеется обмотка с общим числом витков $N$. B сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной $b$ (см. рис. 7.22). При токе I через обмотку магнитная индукция в прорези равна В. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.

Рис. 7.22
Рис. 7.23

Решение Согласно теореме о циркуляции вектора Н по окружности диаметром $d$ (см. рис. 7.22) имеем
\[
(\pi d-b) H+b H_{0}=N I,
\]

где $H$ и $H_{0}$ — модули вектора $\mathbf{H}$ соответственно в железе и прорези. Кроме того, отсутствие рассеяния поля на краях прорези означает, что
\[
B=B_{0} .
\]

Из этих двух уравнений с учетом того, что $B=\mu \mu_{0} H$ и $b \ll d$, получим
\[
\mu=\frac{\pi d B}{\mu_{0} N I-b B} .
\]
— 7.8. Сила, действующая на магнетик. В установке (рис. $7.24)$ с помощью весов измеряют силу, с которой небольшой парамагнитный шарик объемом $V$ притягивается к полюсу магнита $M$. Магнитная индукция на оси полюсного наконечника зависит от высоты х как $B=B_{0} \mathrm{e}^{-a x^{2}}$, дде $B_{0}$ и а-постоянные. Найти: 1) на какой высоте $x_{m}$ надо поместить шарик, чтобы сила притяжения была максимальной; 2) магнитную восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения равна $F_{m}$.

Р е ш е н и е. 1. Пусть для определенности вектор В на оси направлен вверх, туда же направим и ось $X$. Тогда согласно (6.34) $F_{x}=p_{\mathrm{m}} \partial B / \partial x$, где учтено, что магнитный момент $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ направлен туда же, куда и вектор В (для парамагнетика), поэтому $\partial h$ заменено на $\partial x$.
Далее, так как $p_{\mathrm{m}}=J V=\chi H V$ и $\partial B / \partial x=-2 a B_{0} x \mathrm{e}^{-a x^{2}}$, то
\[
F_{x}=-A x \mathrm{e}^{-2 a x^{2}},
\]

где $A=2 a B_{0}^{2} \chi V / \mu \mu_{0}$.
Вычислив производную $\mathrm{d} F_{x} / \mathrm{d} x$ и приравняв ее к нулю, получим следующее уравнение для определения $x_{m}: 1-4 a x^{2}=0$, откуда
\[
x_{m}=1 / \sqrt{4 a} \text {. }
\]
2. После подстановки (2) в (1) найдем
\[
\chi=\frac{\mu_{0} F_{m}}{B_{0}^{2} V} \sqrt{\frac{\mathrm{e}}{a}},
\]

где учтено, что для парамагнетика $\mu \approx 1$.

— 7.9. Длинный тонкий цилиндрический стержень из парамагнетика с магнитной восприимчивостью х и площадью поперечного сечения $S$ расположен вдоль оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где магнитное поле равно $B$, а другой конец — в области, где магнитное поле практически отсутствует. С какой силой катушка действует на стержень?

Решение. Выделим мысленно элемент стержня длиной $\mathrm{d} x$ (рис. 7.25). На него действует сила
\[
\mathrm{d} F_{x}=\mathrm{d} p_{\mathrm{m}} \frac{\partial B_{x}}{\partial n} .
\]

Пусть вектор В на оси катушки направлен вправо (на рисунке), в сторону положительных $x$. Тогда $B_{x}=$ $=B, \partial n=\partial x$, н так как $\mathrm{d} p_{\mathrm{m}}=$ $=J S \mathrm{~d} x=\chi H S \mathrm{~d} x$, то $\mathrm{d} F_{x}=\chi H S \mathrm{~d} x \frac{\partial B}{\partial x}=\frac{\chi S}{\mu \mu_{0}} B \mathrm{~d} B$.

Рис. 7.24
Рис. 7.25

Проинтегрировав это выражение, получим
\[
F_{x}=\frac{\chi S}{\mu \mu_{0}} \int_{B}^{0} B \mathrm{~d} B=-\frac{\chi S B^{2}}{2 \mu \mu_{0}} .
\]

Знак минус показывает, что вектор $\mathbf{F}$ направлен влево, т. е. стержень притягивается к катушке с током.

— 7.10. Небольшой шарик объемом $V$ из парамагнетика $c$ магнитной восприимчивостью $\chi$ переместили вдоль оси катушки с током из точки, где магнитная индукция равна В, в область, где поле практически отсутствует. Какую при этом совершили работу против магнитных сил?

Решение. Направим ось $X$ вдоль оси катушки. Тогда элементарная работа против магнитных сил при перемещении шарика на $\mathrm{d} x$ будет иметь вид
\[
\delta A=-F_{x} \mathrm{~d} x=-p_{\text {m }} \frac{\partial B_{x}}{\partial n} \mathrm{~d} x,
\]

где $F_{x}$ — проекция на ось $X$ магнитной силы (6.34), а знак минус означает, что работа производится против этой силы.

Пусть вектор В на оси направлен в сторону положительных $x$, тогда $B_{x}=B$ и $\partial n=\partial x$ (в противном случае $B_{x}=-B, \partial n=-\partial x$, т. е. производная $\partial B_{x} / \partial n$ не зависит от того, куда направлен вектор в). Учитывая, что $p_{\mathrm{m}}=J V=\chi H V$, перепишем уравнение (1) в виде
\[
\delta A=-\chi H V \frac{\partial B}{\partial x} \mathrm{~d} x=-\frac{\chi V}{\mu \mu_{0}} B \mathrm{~d} B .
\]

Проинтегрировав это выражение от $B$ до 0 , получим
\[
A=-\frac{\chi V}{\mu \mu_{0}} \int_{B}^{0} B \mathrm{~d} B=\frac{\chi B^{2} V}{2 \mu \mu_{0}} .
\]