С прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников). Наша задача – найти количество теплоты, выделяющееся за единицу времени на определенном участке цепи. Здесь возможны два случая, которые мы и рассмотрим последовательно,-однородный и неоднородный участки цепи. В основу решения этого вопроса мы возьмем закон сохранения энергии и закон Ома.

Однородный участок цепи.
Пусть интересующий нас участок заключен между сечениями 1 и 2 проводника (рис. 5.9). Найдем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 12 за время $\mathrm{d} t$.
Если сила тока в проводнике равна $I$, то за время $\mathrm{d} t$ через каждое сечение проводника пройдет заряд $\mathrm{d} q=I \mathrm{~d} t$. В частности, такой заряд $\mathrm{d} q$ войдет внутрь

Рис. 5.9

участка через сечение 1 и такой

же заряд выйдет из этого участка через сечение 2. Так как распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда $\mathrm{d} q$ от сечения 1 к сечению 2 , имеющих потенциалы $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$.

Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля
\[
\delta A=\mathrm{d} q\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=I\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) \mathrm{d} t .
\]

Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой работе энергия должна выделяться в иной форме. Если проводник неподвижен и в нем не происходят химические превращения, то эта энергия должна выделяться в форме внутренней (тепловой) энергии, в результате чего проводник нагревается. Механизм этого превращения достаточно прост: носители тока (например, электроны в металлах) в результате работы сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют ее на возбуждение колебаний решетки при столкновении с ее узлами-атомами.

Итак, согласно закону сохранения энергии элементарная работа $\delta A=\dot{Q} \mathrm{~d} t$, где $\dot{Q}-$ теплота, выделяемая в единицу времени (тепловая мощность). Из сравнения последнего равенства с предыдушим получаем
\[
\dot{Q}=I\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]

А так как по закону Ома $\varphi_{1}-\varphi_{2}=R I$, то

Эта формула выражает известный закон Д жоул я-Л енц а.

Получим выражение этого закона в локальной форме, характеризующей выделение теплоты в различных местах проводящей среды. Для этой цели выделим в данной среде элементарный объем в виде цилиндрика с образующими, параллельными вектору $\mathbf{j}$ – плотности тока в данном месте. Пусть поперечное сечение цилиндрика $\mathrm{d} S$, а его длина $\mathrm{d} l$. Тогда на основании закона ДжоуляЛенца в этом объеме за время $\mathrm{d} t$ выделяется количество теплоты
\[
\delta Q=R I^{2} \mathrm{~d} t=\frac{\rho \mathrm{d} t}{\mathrm{~d} S}(j \mathrm{~d} S)^{2} \mathrm{~d} t=\rho j^{2} \mathrm{~d} V \mathrm{~d} t,
\]

где $\mathrm{d} V=\mathrm{d} S \mathrm{~d} l$ – объем цилиндрика. Разделив последнее уравнение на $\mathrm{d} V \mathrm{~d} t$, получим формулу, которая определя-

ет количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей среды,–удельную тепловую мошность тока:

Эта формула выражает з акон Дж оуля-Л енца в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.

Уравнение (5.20) представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля-Ленца, применимую к любым проводникам вне зависимости от их формы, однородности и от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то на основании закона Ома (5.10)
\[
\dot{Q}_{\text {уд }}=\mathbf{j E}=\sigma E^{2} .
\]

Таким образом, последнее уравнение имеет менее общий характер, нежели (5.20).

Неоднородный участок цепи.
Если участок цепи содержит источник э. д. с., то на носители тока будут действовать не только электрические силы, но и сторонние. В этом случае выделяемое в неподвижном проводнике тепло будет равно по закону сохранения энергии алгебраической сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Проще всего в этом можно убедиться, умножив выражение (5.15) на $I$ :
\[
R I^{2}=\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) I+\mathscr{E} T .
\]

Здесь слева стоит выделяющаяся на участке тепловая мощность $\dot{Q}$; при наличии сторонних сил величина $\dot{Q}$ определяется той же формулой (5.19), что и для однородного участка цепи. Последнее же слагаемое справа представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке. Заметим еще, что последняя величина ( $\mathscr{C} I$ ) является алгебраической: в отличие от $R I^{2}$ она изменяет знак при изменении направления тока $I$.

Таким образом, уравнение (5.22) означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и 2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощностей, т. е.

правую часть (5.22), называют м ощ но ст ь т ок а на рассматриваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна мощности тока.

Применив (5.22) ко всей неразветвленной цепи (тогда $\left.\varphi_{1}=\varphi_{2}\right)$, получим
\[
Q=\mathscr{E} I,
\]
т. е. общее количество выделяемой за единицу времени во всей цепи джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил. Значит, теплота производится только сторонними силами. Роль же электрического поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи.

Получим теперь уравнение (5.22) в локальной форме. Для этого умножим обе части уравнения (5.11) на $\mathbf{j}$, а также учтем, что $\sigma=1 / \rho$ и $\rho j^{2}=Q_{\text {уд }}$ [см. (5.20)]. Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей среде