– 11.1. Собственные незатухающие колебания. $B$ контуре, состоящем из конденсатора емкости $C$ и катушки с индуктивностью $L$, происходят свободные незатухающие колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе $U_{m}$. Найти э.д. с. самоиндукции в катушке в моменты, когда ее магнитная энергия оказывается равной электрической энергии конденсатора.

Решение. Согласно закону Ома
\[
R I=U+\mathscr{E}_{s},
\]

где $U$ – напряжение на конденсаторе ( $U=\varphi_{1}-\varphi_{2}$ ). В нашем случае $R=0$, поэтому $\mathscr{E}_{s}=-U$.

Остается найти напряжение $U$ в моменты, когда электрическая энергия конденсатора равна магнитной энергии катушки. При этом условии можно записать:
\[
\frac{C U_{m}^{2}}{2}=\frac{C U^{2}}{2}+\frac{L I^{2}}{2}=2 \frac{C U^{2}}{2},
\]

откуда $|U|=U_{m} / \sqrt{2}$.
В результате имеем $\left|\mathscr{C}_{s}\right|=U_{m} / \sqrt{2}$.

– 11.2. Колебательный контур состоит из катушки с индук-

тивностью $L$ и незаряженного конденсатора емкости C. Активное сопротивление контура $R=0$. Катушка находится в постоянном магнитном поле так, что полный магнитный поток, пронизывающий все ее витки, равен Ф. В момент $t=0$ магнитное поле резко выключили. Найти ток в контуре как функцию времени $t$.

Решение. При резком выключении внешнего магнитного поля в момент $t=0$ появится индукционный ток, но конденсатор будет еще не заряженным. Поэтому согласно закону Ома
\[
R I=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}-L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t} .
\]

В данном случае $R=0$ и, значит, $\dot{\Phi}+L \dot{I}=0$. Отсюда $\Phi=L I_{0}$, где $I_{0}$ – начальный ток (непосредственно после выключения поля).

После выключения внешнего поля процесс будет описываться уравнением
\[
0=-\frac{q}{C}-L \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{~d} t} .
\]

Продифференцировав это уравнение по времени, получим
\[
\frac{\mathrm{d}^{2} I}{\mathrm{~d} t^{2}}+\frac{1}{L C} I=0 .
\]

Это уравнение гармонических колебаний, его решение ищем в виде
\[
I=I_{m} \cos \left(\omega_{0} t+\alpha\right) .
\]

Постоянные $I_{m}$ и $\alpha$ находим из начальных условий
\[
I(0)=I_{0}, \quad \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t}(0)=0
\]
(второе условие следует из уравнения (1), ибо в начальный момент $t=0$ конденсатор был не заряжен). Из этих условий найдем $\alpha=0, \quad I_{m}=I_{0}$. В результате
\[
I=I_{0} \cos \omega_{0} t \approx(\Phi / L) \cos \omega_{0} t,
\]

где $\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$.

– 11.3. Добротность контура. Колебательный контур с малым затуханием имеет емкость $С$ и индуктивность $L$. На поддержание в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе $U_{m}$ необходимо подводить среднюю мощность $\langle P\rangle$. Найти добротность контура.

Решение. Вследствие малости затухания воспользуемся формулой (11.23):
\[
Q=2 \pi W / \delta W,
\]

где $W=C U_{m}^{2} / 2$ и $\delta W=\langle P\rangle T ; T-$ период затухающих колебаний. В нашем случае $T \approx T_{0}=2 \pi \sqrt{L C}$. После подстановки этих
279

выражений в (1) получим
\[
Q=\frac{U_{m}^{2}}{2\langle P\rangle} \sqrt{\frac{C}{L}} .
\]

– 11.4. Затухающие колебания. $B$ колебательном контуре имеется конденсатор емкости $C$, катушка с индуктивностью $L$, активное сопротивление $R$ и ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, а затем ключ замкнули. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа).

Решение.
Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же, как и заряд, поэтому запишем
\[
U=U_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha) .
\]

В начальный момент $t=0$ напряжение $U(0)=U_{m} \cos \alpha$, где $U_{m}$ – амплитуда в этот момент. Нам надо найти $U(0) / U_{m}$, т. е. $\cos \alpha$.

Для этого воспользуемся другим начальным условием: в момент $t=0$ ток $I=\dot{q}=0$. Так как $q=C U$, то достаточно продифференцировать (1) по времени и полученное выражение при $t=0$ приравнять к нулю. Получим $-\beta \cos \alpha-\omega \sin \alpha=0$, откуда $\operatorname{tg} \alpha=-\beta / \omega$. Поэтому искомое отношение
\[
\frac{U(0)}{U_{m}}=\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\beta / \omega)^{2}}} .
\]

Величины $U(0)$ и $U_{m}$ показаны на рис. 11.8 .

Рис. 11.8
Рис. 11.9

Принимая во внимание, что $\omega^{2}=\omega_{0}{ }^{2}-\beta^{2}$, преобразуем (2) к виду
\[
U(0) / U_{m}=\sqrt{1-\left(\beta / \omega_{0}\right)^{2}}=\sqrt{1-R^{2} C / 4 L},
\]

где учтено, что $\beta=R / 2 L$ и $\omega_{0}^{2}=1 / L C$.

– 11.5. В колебательном контуре с емкостью $C$ и индуктивностью $L$ совершаются затухающие колебания, при которых ток 280

меняется со временем по закону $I(t)=I_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin \omega t$. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени.

Решение. Выберем положительное направление обхода контура по часовой стрелке (рис. 11.9). Согласно закону Ома для участка контура $I R L 2$ имеем $R I=\varphi_{1}-\varphi_{2}+\mathscr{E}_{s}$. В нашем случае $\mathscr{C}_{s}=-L I$ и $\varphi_{2}-\varphi_{1}=q / C=U_{C}$, где $q-$ заряд на обкладке 2 , поэтому первую формулу можно переписать так:
\[
U_{C}=-R I-L I .
\]

После подстановки сюда выражения для $I(t)$ и его производной получим
\[
U_{C}=\frac{R I_{m} \mathrm{e}^{-\beta t}}{2 \beta}(-\beta \sin \omega t-\omega \cos \omega t) .
\]

Преобразуем выражение в скобках к синусу. Для этого умножим и разделим его на $\sqrt{\omega^{2}+\beta^{2}}=\omega_{0}$, а затем введем угол $\delta$ по формулам
\[
-\beta / \omega_{0}=\cos \delta, \omega / \omega_{0}=\sin \delta .
\]

Тогда
\[
U_{C}=\frac{R I_{m} \omega_{0}}{2 \beta} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin (\omega t-\delta)=I_{m} \sqrt{L / C} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin (\omega t-\delta),
\]

где угол $\delta$ согласно (1) находится во второй четверти, т. е. принимает значения $\pi / 2<\delta<\pi$. Таким образом, напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока.

– 11.6. Установление колебаний. Катушку с индуктивностью $L$ и активным сопротивлением $R$ подключили в момент $t=0 \kappa$ внешнему напряжению $U=U_{m} \cos \omega t$. Найти ток в цепи как функцию времени $t$.

Решение.
В данном случае $R I=U-L I$, или
\[
I+(R / L) I=\left(U_{m} / L\right) \cos \omega t .
\]

Решение этого уравнения есть общее решение однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
\[
I(t)=A \mathrm{e}^{-(R / L) t}+\frac{U_{m}}{\sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}} \cos (\omega t-\varphi),
\]

где $A$ – произвольная постоянная, а угол $\varphi$ определяется условием (11.36): $\operatorname{tg} \varphi=\omega L / R$.

Постоянную $A$ находим из начального условия $I(0)=0$. Отсюда $A=-\left(U_{m} / \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}\right) \cos \varphi$. В результате
\[
I(t)=\frac{U_{m}}{\sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}}\left[\cos (\omega t-\varphi)-\mathrm{e}^{-(R / L) t} \cos \varphi\right]
\]
При достаточно большом $t$ второе слагаемое в квадратных скоб. ках становится пренебрежимо малым, и мы получаем установившееся решение $I(t) \sim \cos (\omega t-\varphi)$.
– 11.7. Вынужденные колебания. Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных конденсатора и активного сопротивления $R$, подключили к внешнему переменному напряжению с амплитудой $U_{m}$. При этом амплитуда установившегося тока оказалась равной $I_{m}$. Найти разность фаз между током и внешним напряжением.
Решение. В данном случае
\[
U=U_{m} \cos \omega t, I=I_{m} \cos (\omega t-\varphi),
\]

где $\varphi$ определяется формулой (11.36): $\operatorname{tg} \varphi=-1 / \omega C R$.
Неизвестное значение емкости $C$ найдем из выражения для амплитуды тока: $I_{m}=U_{m} / \sqrt{R^{2}+(1 / \omega C)^{2}}$, откуда
\[
C=1 / \omega \sqrt{\left(U_{m} / I_{m}\right)^{2}-R^{2}} .
\]

После подстановки в выражение для $\operatorname{tg} \varphi$ получим
\[
\operatorname{tg} \varphi=-\sqrt{\left(U_{m} / R I_{m}\right)^{2}-1} .
\]

В нашем случае $\varphi<0$, а это значит, что ток опе р е ж а то фазе внешнее напряжение (рис. 11.10).

– 11.8. Цепь переменного тока, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключена к внешнему переменному напряжению, частоту которого можно менять, не менял сго амплитуды. При частотах $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуды силы тока в цепи оказались одинаковыми. Найти резонансную частоту тока.

Решение. Согласно (11.35) амплитуды будут одинаковыми при условии
\[
\left|\omega_{1} L-\frac{1}{\omega_{1} C}\right|=\left|\omega_{2} L-\frac{1}{\omega_{2} C}\right| .
\]

Максимуму резонансной кривой тока соответствует частота, равная собственной частоте $\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$. Далее, пусть $\omega_{1}<\omega_{0}<\omega_{2}$ (можно предположить и наоборот, от этого окончательный

Рис. 11.10
Рис. 11.11
Рис. 11.12

результат не изменится), тогда равенство (1) можно переписать, сняв модули, так: $\quad \omega_{0}^{2} / \omega_{1}-\omega_{1}=\omega_{2}-\omega_{0}^{2} / \omega_{2}$, или
\[
\omega_{2}+\omega_{1}=\omega_{0}^{2}\left(\frac{1}{\omega_{1}}+\frac{1}{\omega_{2}}\right) .
\]

После сокращения обеих частей этого равенства на $\omega_{2}+\omega_{1}$ получим: $1=\omega_{0}^{2} / \omega_{1} \omega_{2}$, откуда
\[
\omega_{0}=\sqrt{\omega_{1} \omega_{2}} .
\]

– 11.9. Векторная диаграмма. Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$ и катушки с активным сопротивлением $R$ и с индуктивностью $L$, подключили $\kappa$ внешнему напряжению с амплитудой $U_{m}$ и частотой $\omega$. Считая, что ток в цепи опережает по фазе внешнее напряжение, построить соответствующую векторную диаграмму и с помощью нее найти амплитуду напряжения на катушке.

Решение.
Векторная диаграмма для данного случая имеет вид, показанный на рис. 11.11. Из этой диаграммы сразу видно, что амплитуда напряжения на катушке
\[
U_{L R m}=I_{m} \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}},
\]

где $I_{m}=U_{m} / \sqrt{R^{2}+(\omega L-1 / \omega C)^{2}}$. Напряжение на катушке при наличии активного сопротивления опережает ток по фазе менее чем на $\pi / 2$.

– 11.10. Мощность в цепи переменного тока. Цепь, состоящую из последовательно соединенных безындукционного сопротивления $R$ и катушки с некоторым активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением $U$. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если действующие напряжения на сопротивлении $R$ и катушке равны соответственно $U_{1}$ $u U_{2}$.

Решение.
Воспользуемся векторной диаграммой, которая дана на рис. 11.12. Из этой диаграммы согласно теореме косинусов имеем
\[
U^{2}=U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+2 U_{1} U_{2} \cos \varphi_{L} .
\]

Мощность же, выделяемая на катушке:
\[
P_{2}=I U_{2} \cos \varphi_{L},
\]

где $I=U_{1} / R$.
Из уравнений (1), (2) получим
\[
P_{2}=\left(U^{2}-U_{1}^{2}-U_{2}^{2}\right) / 2 R .
\]