Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией $\mathbf{E}(\mathbf{r})$. Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и др. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал $\varphi(\mathbf{r})$ данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле $\mathbf{E}(\mathbf{r})$. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Связь между $\varphi$ и $\mathrm{E}$ можно установить с помощью уравнения (1.24). Пусть перемещение dl параллельно оси $X$, тогда $\mathrm{dl}=\mathbf{i} \mathrm{d} x$, где $\mathbf{i}$ – орт оси $X ; \mathrm{d} x$ – приращение координаты $x$. В этом случае
\[
\mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{l}=\mathbf{E i} \mathrm{d} x=E_{x} \mathrm{~d} x,
\]
где $E_{x}$ – проекция вектора $\mathbf{E}$ на орт і (а не на перемеще-
ние dl!). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), получим
\[
E_{x}=-\partial \varphi / \partial x
\]
где символ частной производной подчеркивает, что функцию $\varphi(x, y, z)$ надо дифференцировать только по $x$, считая $y$ и $x$ при этом постоянными.
Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций $E_{y}$ и $E_{z}$. А определив $E_{x}$, $E_{y}, E_{z}$, легко найти и сам вектор $\mathbf{E}$ :
\[
\mathbf{E}=-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathbf{k}\right) .
\]
Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенци ала $\varphi(\operatorname{grad} \varphi$ или $
abla \varphi)$. Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением и рассматривать формально $
abla \varphi$ как произведение символического вектора $
abla$ на скаляр $\varphi$. Тогда уравнение (1.30) можно представить в более компактной форме:
т. е. напряженность E поля равна со знаком минус градиенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле $\mathbf{E}$, зная функцию $\varphi(\mathbf{r})$.
Пример.
Найти напряженность Е поля, потенциал которого имеет вид: 1) $\varphi(x, y)=-$ aху, a – постоянная, 2) $\varphi(\mathbf{r})=-\mathrm{ar}$, a – постоянный вектор, $\mathbf{r}$ – радиус-вектор интересующей нас точки поля.
1. Воспользовавшись формулой (1.30), получим $\mathbf{E}=$ $=a(y \mathbf{i}+x \mathbf{j})$.
2. Представим сначала функцию $\varphi$ как $\varphi=-a_{x} x-a_{y} y-$ – $a_{z} z$, где $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ – постоянные. После этого с помощью формулы (1.30) найдем $\mathbf{E}=a_{x} \mathbf{i}+a_{y} \mathbf{j}+a_{z} \mathbf{k}=\mathbf{a}$. Видно, что поле $\mathbf{E}$ является в данном случае однородным.
Получим еще одну полезную формулу. В соотношении (1.24) запишем правую часть как $\mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{l}=E_{l} \mathrm{~d} l$, где $\mathrm{d} l=$ $=|\mathrm{d}| \mid$ – элементарный путь; $E_{l}$ – проекция вектора $\mathbf{E}$ на перемещение dl. Отсюда
т. е. проекция вектора $\mathbf{E}$ на направление перемещения $\mathrm{d} \mathbf{I}$ равна со знаком минус производной потенциала по данному направлению (это подчеркнуто символом частной производной) .
Эквипотенциальные поверхности.
Введем понятие эквипотенциальной поверхности- поверхности, во всех точках которой потенциал $\varphi$ имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала $\varphi$. В самом деле, из формулы (1.32) следует, что проекция вектора E на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем перемещение dl по нормали к поверхности в сторону уменьшения $\varphi$, тогда $\partial \varphi<0$ и согласно (1.32) $E_{l}>0$, т. е. вектор $\mathbf{E}$ направлен в сторону уменьшения $\varphi$, или в сторону, противоположную вектору $
abla \varphi$.
Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще («круче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше.
Далее, ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора E ортогональны этим поверхностям.
На рис. 1.13 показана двухмерная картина электрического поля: пунктнром – эквипотенцнали, сплошными линиями – линии вектора E. Такое изображение придает большую наглядность. Сразу же видно, в какую сторону направлен вектор E, где напряженность больше, где меньше, где больше крутизна потенциального рельефа. С помощью таких картин можно получить и качественные ответы на ряд вопросов: куда начнет двигаться заряд при помещении его в ту или иную точку, где больше градиент
Рис. 1.13 потенциала (по модулю), в какой точке поля на заряд будет действовать большая сила и др.
O преимуществах потенциала. Ранее было отмечено, что электростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией $\mathbf{E}(\mathbf{r})$. Какая же польза от введения потенциала? Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал – понятие действительно весьма полезное,
и не случайно, что этим понятием широко пользуются не только в физике, но и в технике.
1. Зная потенциал $\varphi(\mathbf{r})$, можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда $q^{\prime}$ из точки $l$ в точку 2:
\[
A_{12}=q^{\prime}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right),
\]
где $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ – потенциалы в точках 1 и 2. Значит, искомая работа равна у был и потенциальной энергии заряда $q^{\prime}$ в поле при перемещении его из точки 1 в точку 2. Расчет работы сил поля по формуле (1.33) оказывается не только проще, но в некоторых случаях и единственно возможным.
Пример.
Заряд q распределен по тонкому кольцу радиусом a. Найти работу сил поля при перемещении точечного заряда $q^{\prime}$ из центра кольца на бесконечность.
Так как неизвестно, как распределен заряд $q$ по кольцу, то ничего нельзя сказать о напряженности $\mathbf{E}$ поля этого заряда. А это значит, что непосредственно вычислить работу как интеграл $\int q^{\prime} \mathbf{E}$ dl здесь непросто. С помощью же потенциала эта задача решается элементарно. В самом деле, так как все элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии $a$ от центра кольца, то потенциал в этой точке $\varphi_{0}=q / 4 \pi \varepsilon_{0} a$. А потенциал на бесконечности $\varphi=0$. Следовательно, работа $A=$ $=q^{\prime} \varphi_{0}=q^{\prime} q / 4 \pi \varepsilon_{0} a$.
2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности $\mathbf{E}$ электрического поля легче сначала подсчитать потенциал $\varphi$ и затем взять градиент от него, нежели вычислять $\mathbf{E}$ непосредственно. Это весьма существенное преимущество потенциала. Действительно, для вычисления $\varphi$ нужно взять один интеграл, а для вычисления $\mathbf{E}$-три (ведь это вектор). Кроме того, обычно интегралы для определения $\varphi$ проще, чем для $E_{x}$, $E_{y}, E_{z}$
Сразу же заметим, что это не касается сравнительно небольшого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение поля $\mathbf{E}$ непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказывается значительно проще.
