Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основные законы магнитного поля.

Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью линий вектора В. Их проводят обычным способом – так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.

Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфигурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.

А теперь обратимся к основным законам магнитного поля – теореме Гаусса и теореме о циркуляции.

Теорема Гаусса для поля В.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью $S$, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность $S$, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы по-

верхности $S$. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность $S$, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора В), действительно не должно зависеть от формы поверхности $S$.

Закон (6.14) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора В. Иначе говоря, магнитное поле ме имеет источников в противоположность полю электрическому.

Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру $\Gamma$ равна произведению $\mu_{0}$ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром $\mathbf{r}$ :

где $I=\sum I_{k}$, причем $I_{k}$ – величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 6.5: здесь токи $I_{1}$ и $I_{3}$ положительные, ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток $I_{2}$ – отрицательный.

Теорема о циркуляции (6.15) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (6.15) как постулат, подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (6.15) распределен по объему, где расположен контур $\boldsymbol{\Gamma}$, то его можно представить как
\[
I=\int \mathbf{j} \mathbf{d} \mathbf{S} .
\]

Рис. 6.5
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности $S$, натянутой на контур Г. Плотность тока $\mathbf{j}$ под интегралом соответствует точке, где расположена площадка $\mathrm{d} \mathbf{S}$, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру
правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (6.15) можно записать так:
\[
\oint \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{l}=\mu_{0} \int \mathbf{j} \mathbf{d} \mathbf{S}=\mu_{0} \int j_{n} \mathrm{~d} S .
\]

Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным.

Так как циркуляция вектора В пропорциональна току $I$, охватываемому контуром, то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным $\mathbf{E}=-
abla \varphi$. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное $\mu_{0} I$. Впрочем, в той области пространства, где токов нет, магнитный потенциал $\varphi_{m}$ вводят и достаточно эффективно используют.

Роль теоремы о циркуляции вектора В.
Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов E и D. Мы знаем, что поле В определяется всеми токами, циркуляция жс вектора В только темн токами, которые охватывает данный контур. Несмотря на это, в некоторых случаях – при наличии специальной симметрии – теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить В.

Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора В можно свести, выбрав разумно контур, к произведению $B$ (или $B_{l}$ ) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля В приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, и расчет становится значительно сложнее.