Давление электромагнитной волны.
Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны.

Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью $\sigma E^{2}$, а поэтому $\sigma
eq 0$, т. е. поглощающая среда обладает проводимостью.

Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток с плотностью $\mathbf{j}=\sigma \mathbf{E}$. Вследствие этого на единицу объема среды действует амперова сила $\mathbf{F}_{\text {ед }}=$ $=[\mathbf{j B}]=\sigma[\mathbf{E B}]$, направленная в сторону распространения волны (рис. 10.10). Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны.

При отсутствии поглощения проводимость $\sigma=0$ и $\mathbf{F}_{\text {ед }}=$ $=0$, т. е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду.

Импульс электромагнитного поля.
Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает определенный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из вещества и электромагнитной волны, возникло бы нарушение закона сохранения импульса, если бы импульсом обладало только вещество.

Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом: вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем.

Введем понятие плотности импульса $\mathbf{G}$ электромагнитного поля как величину, численно равную импульсу поля в единице объема. Расчет, который мы не будем здесь приводить, показывает, что плотность импульса

где $\mathbf{S}=[\mathbf{E H}]-$ вектор Пойнтинга. Қак и вектор $\mathbf{S}$, плотность импульса $\mathbf{G}$ является, вообще говоря, функцией времени и координат.

Рис. 10.10
Рис. 10.11

Для электромагнитной волны в вакууме согласно (10.20) $\sqrt{\varepsilon_{0}} E=\sqrt{\mu_{0}} H$, поэтому плотность энергии $w$ и модуль $S$ вектора Пойнтинга равны соответственно:
\[
w=\varepsilon_{0} E^{2} / 2+\mu_{0} H^{2} / 2=\varepsilon_{0} E^{2}, \quad S=E H=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E^{2} .
\]

Отсюда следует, что $S=w / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}$. А так как $\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}=1 / c$, $c$ — скорость света в вакууме, то $S=w c$, и из формулы (10.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме

Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как показывается в теории относительности) частицам с нулевой массой покоя. Это и естественно, поскольку согласно квантовым представлениям электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов — частиц с нулевой массой покоя.

Еще о давлении электромагнитных волн.
Вычислим с помощью формулы (10.25) давление электромагнитной волны на тело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направлении. Согласно закону сохранения импульса $\mathbf{p}_{0} \approx$ $=\mathbf{p}_{0}^{\prime}+\mathbf{p}$, где $\mathbf{p}_{0}, \mathbf{p}_{0}^{\prime}-$ импульсы падающей и отраженной волн, p — импульс, переданный телу (рис. 10.11). Спроектировав это равенство на направление падающей волны и отнеся все величины к единице времени и к единице площади поперечного сечения, получим
\[
p=p_{0}+p_{0}^{\prime}=\langle G\rangle c+\left\langle G^{\prime}\right\rangle c,
\]

где $\left\langle G^{\prime}\right\rangle$ и $\left\langle G^{\prime}\right\rangle$ — средние значения плотности импульса в падающей и отраженной волнах. Остается учесть связь $(10.25)$ между $\langle G\rangle$ и $\langle w\rangle$ и тот факт, что $\left\langle w^{\prime}\right\rangle=\rho\langle w\rangle$, где $\rho-$ коэффициент отражения. В результате предыдущее выражение примет вид
\[
p=(1+\rho)\langle w\rangle .
\]

Здесь величина $p$ по своему смыслу есть не что иное, как давление электромагнитной волны на тело. При полном отражении $\rho=1$ и давление $p=2\langle w\rangle$, при полном поглощении $\rho=0$ и $p=\langle w\rangle$.

Остается добавить, что давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давление излучения внутри горячих звезд). Например, давление солнечного излучения на Земле составляет несколько единиц на $10^{-6}$ Па, что в $10^{10}$ раз меньше атмосферного давления. Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн — светового давления — было получено П. Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света.
Задачи

— 10.1. Ток смещения. Точечный заряд q движется равномерно и прямолинейно с нерелятивистской скоростью v. Найти вектор плотности тока смещения в точке $P$, находящейся на расстоянии $r$ от заряда на прямой: 1) совпадающей с его траекторией; 2) перпендикулярной его траектории и проходящей через заряд. решение задачи сводится к определению вектора D в указанных точках и нахождению его производной по времени. В обоих случаях $\mathbf{D}=q \mathbf{e}_{r} / 4 \pi r^{2}$, где $\mathbf{e}_{r}-$ орт вектора $\mathbf{r}$. Найдем производную $\partial \mathbf{D} / \partial t$.

1. В точке $P_{1}$ (рис. 10.12, где предполагается, что $q>0$ )
\[
\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=-\frac{2 q}{4 \pi r^{3}} \frac{\partial r}{\partial t} \mathbf{e}_{r}=\frac{2 q \mathbf{v}}{4 \pi r^{3}},
\]

здесь учтено, что для точки $P_{1}$ производная $\partial r / \partial t=-v$. Если бы точка $P_{1}$ находилась не перед зарядом $q$ (по ходу его движения), а за ним, то вектор $\mathbf{j}_{\text {см }}$ был бы направлен в ту же сторону и имел бы тот же модуль.
Итак, если $q>0$, вектор $\mathrm{j}_{\mathrm{cm}} \uparrow \uparrow \mathbf{v}$, и наоборот.

2. В точке $P_{2}$ (рис. 10.12) $|\mathrm{d} \mathbf{D}| / D=v \mathrm{~d} t / r$, поэтому можно записать:
\[
\partial \mathbf{D} / \partial t=-q \mathbf{v} / 4 \pi r^{3} .
\]

Если $q>0$, то $\mathbf{j}_{\text {см }} \downarrow \uparrow \mathbf{v}$, и наоборот.

— 10.2. Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого $R$, меняют так, что магнитное поле внутри соленоида возрастает со временем по закону $B=\beta t^{2}$, где $\beta-$ постоянная. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния $r$ от оси соленоида.

Рис. 10.12
Рис. 10.13

Решение. Чтобы определить плотность тока смещения, надо согласно (10.5) сначала найти напряженность электрического поля — здесь оно будет вихревым. Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Е, запишем:
\[
\begin{array}{c}
2 \pi r E=\pi r^{2} \partial B / \partial t, E=r \beta t(r<R) ; \\
2 \pi r E=\pi R^{2} \partial B / \partial t, E=R^{2} \beta t / r(r>R) .
\end{array}
\]

Теперь по формуле $j_{\text {см }}=\varepsilon_{0} \partial E / \partial t$ найдем плотность тока смещения:
\[
j_{\text {СМ }}=\varepsilon_{0} \beta r(r<R) ; i_{\text {СМ }}=\varepsilon_{0} \beta R^{2} / r(r>R) .
\]

График зависимости $j_{\mathrm{cm}}(r)$ показан на рис. 10.13.

— 10.3. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

Решение.
Магнитное поле будет отсутствовать, потому что полный ток (ток проводимости плюс ток смещения) равен нулю. Это и надо показать. Обратимся к плотности тока. Пусть в некоторый момент плотность тока проводимости равна $\mathbf{j}$. Ясно, что $\mathbf{j} \sim \mathbf{D}$, причем $\mathbf{D}=\sigma \mathbf{n}$, где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда на положительно заряженной обкладке; $\mathbf{n}$ — нормаль (рис. 10.14).

Наличие тока проводимости приводит к уменьшению поверхностной плотности заряда $\sigma$, а следовательно, и D — ток проводимости будет сопровождаться током смещения. Плотность последнего
\[
\mathbf{j}_{\mathrm{cм}}=\partial \mathbf{D} / \partial t=(\partial \sigma / \partial t) \mathbf{n}=-j \mathbf{n}=-\mathbf{j} .
\]

Отсюда следует, что действительно
\[
\mathbf{j}_{\text {полн }}=\mathbf{j}+\mathbf{j}_{\text {см }}=0 .
\]

— 10.4. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью о и диэлектрической проницаемостью в. Пренебрегая краевыми эффектами, найти модуль вектора $\mathbf{H}$ между обкладками на расстоянии $r$ от их оси, если напряженность электрического поля между обкладками меняется со временем по закону $E=E_{m} \cos \omega t$.

Рис. 10.14
Рис. 10.15

Решение из уравнения Максвелла для циркуляции вектора $\mathbf{\text { н }}$ следует, что
\[
2 \pi r H=\left(j_{n}+\varepsilon \varepsilon_{0} \frac{\partial E_{n}}{\partial t}\right) \pi r^{2} .
\]

Принимая во внимание закон Ома $j_{n}=\sigma E_{n}(t)$, получим
\[
H=\frac{r}{2}\left(\sigma E_{n}+\varepsilon \varepsilon_{0} \frac{\partial E_{n}}{\partial t}\right)=\frac{r E_{m}}{2}\left(\sigma \cos \omega t-\varepsilon \varepsilon_{0} \omega \sin \omega t\right) .
\]

Преобразуем выражение в скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение на $f=\sqrt{\sigma^{2}+\left(\varepsilon \varepsilon_{0} \omega\right)^{2}}$, а затем введем угол $\delta$ по формулам $\sigma / f=\cos \delta, \varepsilon \varepsilon_{0} \omega / f=\sin \delta$. Тогда
\[
H=1 / 2 r E_{m} \sqrt{\sigma^{2}+\left(\varepsilon \varepsilon_{0} \omega\right)^{2}}|\cos (\omega t+\delta)| .
\]

— 10.5. Точечный заряд q движется в вакууме равномерно и прямолинейно с нерелятивистской скоростью v. Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора $\mathbf{H}$, полуно заряда характеризуется радиус-вектором $\mathbf{r}$ (рис. 10.15).
Реше ни е. Из соображений симметрии ясно, что в качестве

контура, по которому надо брать циркуляцию вектора $\mathbf{H}$, следует взять окружность с центром $O$ (ее след показан на рис. 10.16 штриховой линией). Тогда
\[
2 \pi R H=\frac{\partial}{\partial t} \int D_{n} \mathrm{~d} S,
\]

где $R$ — радиус окружности.
Найдем поток вектора D сквозь поверхность, ограниченную этой окружностью. Проще всего, если эту поверхность $S$ взять

Рис. 10.16
Рис. 10.17

сферической с радиусом кривизны $r$ (рис. 10.16). Тогда поток вектора D через элементарное кольцо, взятое на данной сферической поверхности, есть
\[
D \mathrm{~d} S=\frac{q}{4 \pi r^{2}} 2 \pi r \sin \alpha^{\prime} \cdot r \mathrm{~d} \alpha^{\prime}=\frac{q}{2} \sin \alpha^{\prime} \mathrm{d} \alpha^{\prime},
\]

а весь поток сквозь выбранную поверхность
\[
\int D \mathrm{~d} S=\frac{9}{2}(1-\cos \alpha) .
\]

Теперь согласно (1) продифференцируем
(2) по времени:
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int D \mathrm{~d} S=\frac{q}{2} \sin \alpha \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t} .
\]

При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 (рис. 10.17) на расстояние $\sigma \mathrm{d} t$ имеем $v \mathrm{~d} t \cdot \sin \alpha=r \mathrm{~d} \alpha$, откуда
\[
\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}=\frac{v \sin \alpha}{r} \text {. }
\]

После подстановки (4) в (3), а затем (3) в (1) получим
\[
H=q v r \sin \alpha / 4 \pi r^{3} \text {, }
\]

где учтено, что $R=r \sin \alpha$. Соотношение (5) в векторной форме имеет вид
\[
\mathbf{H}=\frac{q}{4 \pi} \frac{[\mathbf{v r}]}{r^{3}} .
\]

Мы видим, таким образом, что постулированное нами ранее выражение (6.3) является следствием уравнений Максвелла.

— 10.6. Ротор Е. В некоторой области инерциальной системы отсчета имеется вращающееся с угловой скоростью ю магнитное поле, модуль которого $B=$ const. Найти $\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}$ в этой области как функцию векторов а и В.

Решение. Из уравнения $\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t$ видно, что вектор $
abla \times \mathbf{E}$ направлен противоположно вектору $\mathrm{d} \mathbf{B}$, а его модуль можно вычислить с помощью рис. 10.18:

Поэтому
\[
|\mathrm{d} \mathbf{B}|=B \cdot \omega \mathrm{d} t, \quad|\mathrm{~d} \mathbf{B} / \mathrm{d} t|=B \omega .
\]
\[

abla \times \mathbf{E}=-|\vec{\omega} \mathbf{B}| .
\]

— 10.7. Вектор Пойнтинга. Протоны, имеющие одинаковую скорость v, образуют пучок круглого сечения с током I. Найти направление и модуль вектора Пойнтинга $\mathbf{S}$ вне пучка на расстоянии $r$ от его оси.

Рис. 10.18
Рис. 10.19

Реше ни е. Из рис. 10.19 видно, что $\mathbf{S} \uparrow \uparrow \mathbf{v}$. Найдем модуль вектора $\mathbf{S}: S=E H$, где $E$ и $H$ зависят от $r$. По теореме Гаусса
\[
2 \pi r E=\lambda / \varepsilon_{0},
\]

где $\lambda$ — заряд на единицу длины пучка. Кроме того, по теореме о циркуляции вектора $\mathbf{H}$
\[
2 \pi r H=I .
\]

Определяя $E$ и $H$ из последних двух уравнений и учитывая, что $l=\lambda v$, получаем
\[
S=E H=I^{2} / 4 \pi^{2} \varepsilon_{0} v r^{2} .
\]

— 10.8. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

Р е ш е и е. При возрастании тока увеличивается магнитное поле в соленоиде, а значит, появляется вихревое электрическое

поле. Пусть радиус сечения соленоида равен $a$. Тогда напряженность вихревого электрического поля у боковой поверхности соленоида можно определить с помощью уравнения Максвелла, выра жающего закон электромагнитной индукции:
\[
2 \pi a E=\pi a^{2} \frac{\partial B}{\partial t}, \quad E=\frac{a}{2} \frac{\partial B}{\partial t} .
\]

Поток энергии через боковую поверхность соленоида можно представить в таком виде:
\[
\Phi=E H \cdot 2 \pi a l=\pi a^{2} l \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}\right),
\]

где $l$ — длина соленоида, ла $a^{2} l$ — его объем.
Таким образом, мы видим, что поток энергии через боковую поверхность соленоида (поток вектора Пойнтинга) равен скорости изменения магнитной энергии внутри соленоида:
\[
\Phi=S \cdot 2 \pi a l=\partial W / \partial t .
\]

— 10.9. Энергия от источнцка постоянного напряжения $U$ передается к потребителю по длиному коакиальному кабель с пренебрежимо малым сопротивлением. Ток в кабеле I. Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя прово. дящая оболочка кабеля тонкостенная.

Решение.
Искомый поток энергии определяется формулон̆
\[
\Phi=\int_{a}^{b} S \cdot 2 \pi r \mathrm{~d} r,
\]

Рис. 10.20
где $S=E H$ — плотность потока, $2 \pi r d r$ — элементарное кольцо шириной $\mathrm{d} r$, в пределах которого $S$ одинаково, $a$ и $b$ — радиусы внутреннего провода и внешней оболочки кабеля (рис. 10.20). Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость $S(r)$, или $E(r)$ и $H(r)$.
C помощью теоремы Гаусса получим
\[
2 \pi r E \approx \lambda / \varepsilon_{0},
\]

где $\lambda$ — заряд провода на единицу длины. Далее, по теореме о циркуляции
\[
2 \pi r H=J .
\]

После подстановки $E$ и $H$ из формул (2) и (3) в выражение (1) и интегрирования получим
\[
\Phi=\frac{\lambda I}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{b}{a} .
\]

В условии задачи $\lambda, a$ и $b$ не заданы, вместо них дано $U$. Найдем связь между этими величинами:
\[
U=\int_{a}^{b} E \mathrm{~d} r=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{b}{a} .
\]

Из сопоставления (4) и (5) следует, что
\[
\Phi=U I \text {. }
\]

Это совпадает со значением мощности, выделяемой на нагрузке.

— 10.10. Плоский воздушный конденсатор, пластины которого имеют форму дисков радиусом а, подключены к переменному гармоническому напряжению частоты ю. Найти отношение максимальных значений магнитной и электрической энергией внутри конденсатора.

Решение.
Пусть напряжение на конденсаторе меняется по закону $U=U_{m} \cos \omega t$ и расстояние между пластинами конденсатора равно $h$. Тогда электрическая энергия конденсатора
\[
W_{,}=\frac{\varepsilon_{0} E^{2}}{2} \pi a^{2} h=\frac{\varepsilon_{0} \pi a^{2}}{2 h} U_{m}^{2} \cos ^{2} \omega t .
\]

Магнитную энергию определим по формуле
\[
W_{\mathrm{m}}=\int \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} \mathrm{~d} V .
\]

Необходимую для вычисления этого интеграла величину $B$ найдем из теоремы о циркуляции вектора $\mathbf{H}: 2 \pi r H=\pi r^{2} \partial D / \partial t$. Отсюда, имея в виду, что $H=B / \mu_{0}$ и $\partial D / \partial t=-\varepsilon_{0}\left(U_{m} / h\right) \omega \sin \omega t$, получим
\[
B=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{r_{0} U_{m}}{h}|\sin \omega t| .
\]

Остается подставить (3) в (2), где в качестве $\mathrm{d} V$ надо взять элементарный объем в виде кольца, для которого $\mathrm{d} V=2 \pi r \mathrm{~d} r \cdot h$. В результате интегрирования найдем
\[
W_{\mathrm{M}}=\frac{\pi}{16} \frac{\mu_{0} \varepsilon_{0}^{2} \omega^{2} a^{4} U_{m}^{2}}{h} \sin ^{2} \omega t .
\]

Отношение максимальных значений магнитной энергии (4) и электрической энергии (1) таково:
\[
\frac{W_{\text {м макс }}}{W_{\text {з. макс }}}=\frac{1}{8} \mu_{0} \varepsilon_{0} a^{2} \omega^{2} .
\]

Например, при $a=6 \mathrm{cм}$ и $\omega=1000 \mathrm{c}^{-1}$ это отношение равно $5 \cdot 10^{-15}$.