Электрострикция.
Опыт показывает, что на диэлектрик в. электрическом поле действуют силы (их иногда называют пондеромоторными). Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является в конечном счете действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика.

Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют электрострикцией. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механические напряжения.

Все это приводит к тому, что на проводник, находящийся в поляризованном диэлектрике, действует не только электрическая сила, зависящая от зарядов на проводнике, но и дополнительная механическая сила со стороны диэлектрика. В общем случае влияние диэлектрика на результирующую силу, испытываемую проводником, не может быть учтено никакими простыми соотношениями, и задача вычисления сил с одновременным исследованием механизма их возникновения, как правило, оказывается весьма сложной. Однако во многих случаях эти силы можно вычислить достаточно просто без детального анализа их происхождения – с помощью закона сохранения энергии.

Энергетический метод определения сил.
Этот метод является наиболее общим. Он позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил, автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические) и поэтому приводит к правильному результату.

Покажем, в чем суть энергетического метода расчета сил. Наиболее просто обстоит дело в случае, когда заряженные проводники отключены от источников напряжения. В этом случае заряды на проводниках остаются постоянными, и мы можем утверждать, что работа $A$ всех внутренних сил системы при медленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии $W$ системы (или ее

поля). Здесь предполагается, что при указанных перемещениях не происходит преобразования электрической энергии в другие формы, или, точнее, считается, что такие преобразования пренебрежимо малы. Таким образом, для бесконечно малых перемещений можно записать
\[
\delta A=-\left.\mathrm{d} W\right|_{q},
\]

где символ $q$ подчеркивает, что убыль энергии системы должна быть вычислена при постоянных зарядах на проводниках.

Уравнение (4.15) является исходным для определения сил, действующих на проводники и диэлектрики в электрическом поле. Делается это, например, так. Пусть нас интересует сила, действующая на данное тело (проводник или диэлектрик). Совершим бесконечно малое поступательное перемещение $\mathrm{d} x$ этого тела в интересующем нас направлении $X$. Тогда работа искомой силы $\mathbf{F}$ на перемещении $\mathrm{d} x$ есть $\delta A=F_{x} \mathrm{~d} x$, где $F_{x}$ – проекция силы F на положительное направление оси $X$. После подстановки последнего выражения для $\delta A$ в (4.15) и деления на $\mathrm{d} x$ получим

Следует обратить внимание вот на что. Сила, как известно, зависит только от положения тел и распределения зарядов в данный момент. Она не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический процесс в том случае, если система придет в движение под действием сил. А это значит, что для вычисления $F_{x}$ по формуле (4.16) нет надобности подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды проводников оставались бы постоянными ( $q=$ const). Надо просто найти приращение $\mathrm{d} W$ при условии, что $q=\mathrm{const}$, а это чисто математическая операция.

Заметим, что если перемещения проводить при постоянном потенциале на проводниках, то соответствующий расчет приводит к другой формуле для силы: $F_{x}=$ $=+\partial W /\left.\partial x\right|_{\varphi}$. Однако – и это важно — результат расчета $F_{x}$ по этой формуле или по (4.16) оказывается одинаковым, как и должно быть. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем использованием только формулы (4.16) и будем применять ее для любых условий, включая и такие, где при малых перемещениях $q
eq$ const. Нас это

не должно смущать: производную $\partial W / \partial x$ мы в подобных случаях будем вычислять при $q=$ const.

Пример.
Найти силу, действующую на одну из обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике, если расстояние между обкладками $h$, емкость конденсатора в этих условиях $C$ и на нем поддерживается напряжение $U$.

В данном случае при мысленном раздвижении обкладок постоянным оказывается напряжение $U$, а заряд $q$ конденсатора меняется (это видно из соотношения $C=q / U$ ). Несмотря на это, расчет силы мы будем проводить в предположении, что $q=\mathrm{const}$, т. е. по формуле (4.16). Здесь наиболее подходящим выражением для энергии конденсатора является следующее:
\[
W=\frac{q^{2}}{2 C}=\frac{q^{2}}{2 \varepsilon \varepsilon_{0} S} x,
\]

где $\varepsilon$ – проницаемость диэлектрика,
Рис. 4.4 $S$ – площадь каждой обкладки, $x$ расстояние между ними ( $x=h$ ).

Выберем далее положительное направление оси $X$, как показано на рис. 4.4. Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку конденсатора:
\[
F_{x}=-\left.\frac{\partial W}{\partial x}\right|_{q}=-\frac{q^{9}}{2 \varepsilon \varepsilon_{0} S} .
\]

Здесь знак минус указывает на то, что вектор $\mathbf{F}$ направлен в отрицательную сторону оси $X$, т. е. сила имеет характер притяжения. Учитывая, что $q=\sigma S=D S=\varepsilon \varepsilon_{0} E S$ и $E=U / h$, преобразуем (1) к виду
\[
F_{x}=-C U^{2} / 2 h .
\]

Силы в жидком диэлектрике.
Из формулы (1) предыдущего примера видно, что сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в $\varepsilon$ раз меньше, чем в вакууме (где $\varepsilon=1$ ). Этот результат, как показывает опыт, можно обобщить: при заполнении всего пространства, где есть электрическое поле, жидким или газообразным диэлектриком силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неизменных зарядах на них) уменьшаются в $\varepsilon$ раз:
\[
F=F_{0} / \varepsilon .
\]

Отсюда следует, что два точечных заряда $q_{1}$ и $q_{2}$, находящиеся на расстоянии $r$ друг от друга внутри безграничного жидкого или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой

\[
F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\left|q_{1} q_{2}\right|}{\varepsilon r^{2}}
\]
т. е. тоже в $\varepsilon$ раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выражает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэлектрике.

Следует обратить особое внимание на то, что в последнем законе под точечными подразумеваются сторонние заряды, сосредоточенные на макроскопических телах, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Таким образом, закон (4.18) в отличие от закона Кулона в вакууме имеет весьма ограниченную область применения: диэлектрик должен быть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообразным, а взаимодействующие тела – точечными в макроскопическом смысле.

Интересно, что в однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность $\mathbf{E}$, так и сила $\mathbf{F}$, действующая на точечный заряд $q$, в $\varepsilon$ раз меньше $\mathbf{E}_{0}$ и $\mathbf{F}_{0}$ при отсутствии диэлектрика. А это значит, что сила $\mathbf{F}$, действующая на точечный заряд $q$, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме:
\[
\mathbf{F}=q \mathbf{E},
\]

где $\mathbf{E}$ напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда помещают сторонний заряд $q$. Только в этом случае по силе $\mathbf{F}$ формула (4.19) позволяет определить поле $\mathbf{E}$ в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд – он сосредоточен на каком-то небольшом теле – будет действовать другое поле – не то, что в самом диэлектрике. И тем не менее, формула (4.19) дает, как это ни удивительно, верный результат.

Поверхностная плотность силы.
Речь пойдет о силе, действующей на единицу поверхности заряженного проводника в жидком или газообразном диэлектрике. Рассмотрим с этой целью плоский конденсатор в жидком диэлектрике. Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения – чтобы заряд конденсатора и поле E внутри него не менялись при раздвигании обкладок.

Вернемся к рис. 4.4. Энергия конденсатора – это энергия поля внутри него. В соответствии с (4.9) она равна $W=1 / 2 E D S x$, где $S$ – площадь каждой обкладки, $x$ – расстояние между ними ( $S x$ – объем, занимаемый полем). Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю

обкладку,
\[
F_{x}=-\partial W /\left.\partial x\right|_{q}=-1 / 2 E D S,
\]

откуда поверхностная плотность силы

Мы получили интересный и важный результат, имеющий общий характер (в жидком или газообразном диэлектрике). Оказывается, поверхностная плотность силы, действующей на проводник, равна объемной плотности электрической энергии вблизи поверхности. Направлена эта сила всегда по нормали к поверхности, причем наружу проводника (стремясь его растянуть) независимо от знака поверхностного заряда.

Задачи

4.1. Энергия взаимодействия. Точечный заряд q находится на расстоянии $l$ от безграничной проводящей плоскости. Найти энергию взаимодействия $W$ этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости.

Решение. Мысленно «заморозим» распределенный по плоскости заряд, и в этих условиях переместим точечный заряд $q$ в бесконечность. Заряд $q$ при этом будет перемещаться в потенциальном поле, которое эквивалентно полю неподвижного точечного фиктивного заряда – $q$, расположенного на неизменном расстоянии $l$ по другую сторону от плоскости. И мы сразу можем написать
\[
W=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{2 l} .
\]

4.2. Собственная, взаимная и полная энергии. Система состоит из двух концентрических металлических оболочек радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ с соответствующими зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$. Найти собственную энергию $W_{1}$ и $W_{2}$ каждой оболочки, энергию $W_{\text {вз }}$ взаимодействия оболочек и полную электрическую энергию $W$ данной системы, если $R_{2}>R_{1}$. но (4.6) равна $q \varphi / 2$, где $\varphi$ – потенциал оболочки, обусловленный только зарядом $q$ на ней, т. е. $\varphi=q / 4 \pi \varepsilon_{0} R$, где $R-$ радиус оболочки. Таким образом, собственная энергия каждой оболочки
\[
W_{1,2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1,2}^{2}}{2 R_{1,2}} .
\]

Энергия же взаимодействия заряженных оболочек равна заряду $q$ одной из них, умноженному на потенциал $\varphi$, который создает заряд другой оболочки в месте нахождения заряда $q$ : $W_{\text {вз }}=q \varphi$.
В нашем случае $\left(R_{2}>R\right)$
\[
W_{\text {вз }}=q_{1} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{R_{2}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{R_{2}} .
\]

Полная электрическая энергия системы
\[
W=W_{1}+W_{2}+W_{\text {в3 }}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}^{2}}{2 R_{1}}+\frac{q_{2}^{2}}{2 R_{2}}+\frac{q_{1} q_{2}}{R_{2}}\right) .
\]

4.3. Два небольших металлических шарика радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ находятся в вакууме на расстоянии, значительно превышающем их размеры, и имеют некоторый определенный суммарный заряд. При каком отношении $q_{1} / q_{2}$ зарядов на шариках электрическая энергия систем будет минимальной? Какова при этом разность потенциалов между шариками?
Решение электрическая энергия данной системы
\[
W=W_{1}+W_{2}+W_{12}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}^{2}}{2 R_{1}}+\frac{q_{2}^{2}}{2 R_{2}}+\frac{q_{1} q_{2}}{l}\right),
\]

где $W_{1}$ и $W_{2}$ – собственные электрические энергии шариков $(q \varphi / 2) ; W_{12}$ – энергия их взаимодействия $\left(q_{1} \varphi_{2}\right.$ или $\left.q_{2} \varphi_{1}\right) ; l-$ расстояния между шариками. Так как $q_{2}=q-q_{1}$, где $q$ – суммарный заряд системы, то
\[
W=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{q_{1}^{2}}{2 R_{1}}+\frac{\left(q-q_{1}\right)^{2}}{2 R_{2}}+\frac{q_{1}\left(q-q_{1}\right)}{l}\right] .
\]

Энергия $W$ будет минимальной при $\partial W / \partial q_{1}=0$. Отсюда
\[
q_{1} \approx q \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} \text { и } q_{2} \approx q \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}},
\]

где учтено, что $R_{1}$ и $R_{2}$ значительно меньше $l$ и
\[
q_{1} / q_{2}=R_{1} / R_{2} .
\]

Потенциал каждого шарика (их можно рассматривать как изолированные) $\varphi \propto q / R$, поэтому из предыдущего равенства следует, что $\varphi_{1}=\varphi_{2}$, т. е. разность потенциалов при таком распределении равна нулю.

4.4. Локализация энергии в поле. Заряд q распределен равномерно по объему шара радиусом $R$. Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти собственную электрическую энергию шара и отношение энергии $W_{1}$,

локализованной внутри шара, к энергии $W_{2}$ в окружающем пространстве.

Решение.
Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса поле внутри и вне шара:
\[
E_{1}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} r(r \leqslant R) ; \quad E_{2}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}}(r \geqslant R) .
\]

Теперь вычислим собственную электрическую энергию шара:
\[
W=W_{1}+W_{2}=\int_{0}^{R} \frac{\varepsilon_{0} E_{1}^{2}}{2} 4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{R}^{\infty} \frac{\varepsilon_{0} E_{2}^{2}}{2} 4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r=\frac{q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R}\left(\frac{1}{5}+1\right) .
\]

Отсюда следует, что
\[
W=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{3 q^{2}}{5 R}, \quad \frac{W_{1}}{W_{2}}=\frac{1}{5} .
\]

Интересно, что отношение $W_{1} / W_{2}$ не зависит от радиуса шара.

4.5. Имеется сферическая оболочка, заряженная равномерно зарядом $q$. В центре ее расположен точечный заряд $q_{0}$. Найти работу электрических сил этой системы при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от $R_{1}$ до $R_{2}$.

Решение Работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы:
\[
A=W_{1}-W_{2} .
\]

Чтобы найти разность $W_{1}-W_{2}$, заметим, что при расширении оболочки (рис. 4.5) электрическое поле, а следовательно, и локализованная в нем энергия изменились только в заштрихованном сферическом слое. Значит,
\[
W_{1}-W_{2}=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{\varepsilon_{0}}{2}\left(E_{1}^{2}-E_{2}^{2}\right) 4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r
\]

где $E_{1}$ и $E_{2}$ – напряженность поля (в заштрихованном слое на расстоянии $r$ от центра системы) до и после расширения оболочки. С помощью теоремы Гаусса находим
\[
E_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q+q_{0}}{r^{2}}, \quad E_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{0}}{r^{2}} .
\]

В результате интегрирования получим
\[
A=\frac{q\left(q_{0}+q / 2\right)}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right) .
\]

Замечание.
Если эту работу искать через потенциал как $A=q\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)$, где $\varphi$ – потенциал, создаваемый зарядом $q_{0}$ в месте нахождения заряда $q$, ответ будет другим –

неверным. Связано это с тем, что при таком подходе не учитывается та дополнительная работа, которую совершают электрические силы при изменении конфигурации заряда $q$ на расширяющейся оболочке.

Рис. 4.5
Рис. 4.6

4.6. Точечный заряд q находится в центре сферического незаряженного проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и . Какую работу произведут электрические силь в данной системе, если заряд $q$ переместить из его первоначального положения через малое отверстие (рис. 4.6) на очень большое расстояние от сферического слоя?

Решение. Будем исходить из того, что работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы. Последняя же, как известно, локализована в самом поле. Поэтому вопрос сводится, по существу, к выяснению, как изменится само поле в результате этого процесса.

Нетрудно сообразить, что поле вокруг заряда $q$ изменится только в сферическом слое с внутренним и наружным радиусами $a$ и $b$. В самом деле, в начальном положении заряда поля здесь не было, а в конечном положении поле в этом слое есть (ведь сам сферический проводящий слой будет находиться далеко от заряда $q$ ). Следовательно, искомая работа
\[
A=0-W_{\mathrm{cл}}=-\int_{a}^{b} \frac{\varepsilon_{0} E^{2}}{2} \mathrm{~d} V .
\]

Имея в виду, что $E=q / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$ и $\mathrm{d} V=4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r$, получим после интегрирования
\[
A=\frac{q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0}} \frac{a-b}{a b}<0 .
\]

4.7. Работа при раздвижении пластин конденсатора.
Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна $S$. Какую работу $A^{\prime}$ против электрических сил надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от $x_{1}$ до $x_{2}$, если при этом поддерживать

неизменным: 1) заряд конденсатора, равный q; 2) напряжение ма конденсаторе, равное $U$ ? Чему равно приращение электрической энергии конденсатора в обоих случаях?
Решение. 1. Искомая работа
\[
A^{\prime}=q E_{1}\left(x_{2}-x_{1}\right)=\frac{q^{2}}{2 \varepsilon_{0} S}\left(x_{2}-x_{1}\right),
\]

где $E_{1}$ – напряженность поля, создаваемого одной обкладкой ( $E=\sigma / 2 \varepsilon_{0}$ ). Именно в этом поле, перемещается заряд, находящийся на другой обкладке. Данная работа целиком идет на приращение электрической энергии: $\Delta W=A^{\prime}$.
2. В этом случае сила, действующая на каждую обкладку конденсатора, будет зависеть от расстояния между ними. Запишем элементарную работу силы, действующей на обкладку при ее перемещении на $\mathrm{d} x$ относительно другой обкладки:
\[
\delta A^{\prime}=q E_{1} \mathrm{~d} x=\frac{\varepsilon_{0} S U^{2}}{2} \frac{d x}{x^{2}},
\]

где учтено, что $q=C U, E_{1}=U / 2 x$ и $C=\varepsilon_{0} S / x$. После интегрирования получим
\[
A^{\prime}=\frac{\varepsilon_{0} S U^{2}}{2}\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right)>0 .
\]

Приращение электрической энергии конденсатора
\[
\Delta W=\frac{\left(C_{2}-C_{1}\right) U^{2}}{2}=\frac{\varepsilon_{0} S U^{2}}{2}\left(\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}\right)<0 .
\]

Заметим, что $\Delta W=-A^{\prime}$.
Таким образом, раздвигая обкладки, мы совершим положительную работу (против электрических сил), энергия же конденсатора при этом уменьшается. Чтобы Іонять, в чем тут дело, надо обратиться к источнику, поддерживающему неизменной разность потенциалов на конденсаторе. Этот источник тоже совершает работу $A_{\text {ист }}$, причем согласно закону сохранения энергии $A_{\text {нст }}+A^{\prime}=\Delta W$, откуда видно, что $A_{\text {нст }}=\Delta W-A^{\prime}=$ $=-2 A^{\prime}<0$.

4.8. Силы, действующие между проводниками в диэлектрике. Плоский конденсатор опустили в горизонтальном положении в жидкий диэлектрик с проницаемостью в, который заполнил зазор между пластинами. Ширина зазора $h$. Затем конденсатор подключили к постоянному напряжению $U$. Найти силу $f^{\prime}$, действующую на единицу поверхности пластины со стороны диэлектрика.

Ре шени и Результирующая сила $f$, которая действует на единицу площади каждой из пластин, может быть представлена как
\[
f=f_{0}-f^{\prime},
\]

где $f_{0}$ – электрическая сила, действующая на единицу площади со стороны другой пластины (она представляет собой не что иное, как силу на единицу площади при отсутствии диэлектрика). В нашем случае
\[
f=f_{0} / \varepsilon, \quad f_{0}=\sigma E=\sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0},
\]

где $E$ – напряженность поля в месте нахождения одной из пластин, создаваемая зарядами другой пластины. Имея в виду, что $\sigma=D=\varepsilon \varepsilon_{0} U / h$, получим после подстановки (2) в (1):
\[
f^{\prime}=f_{0}(1-1 / \varepsilon)=\varepsilon(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} U^{2} / 2 h^{2} .
\]

Например, при $U=500 \mathrm{~B}, h=1,0$ мм и $\varepsilon=81$ (вода) $f^{\prime}=$ $=7$ кПа ( 0,07 атм).

4.9. Сила, действующая на диэлектрик. $B$ цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$, который заполняет практически все пространство между обкладками. Средний радиус обкладок $R$, зазор между ними $d$, причем $d \ll R$. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$. Найти силу, втягивающую диэлектрик в конденсатор.

Решения е. Воспользовавшись формулой $W=q^{2} / 2 C$ для энергии конденсатора, найдем согласно (4.16), что искомая сила
\[
F_{x}=-\left.\frac{\partial W}{\partial x}\right|_{q}=\frac{q^{2}}{2} \frac{\partial C / \partial x}{C^{2}}=\frac{U^{2}}{2} \frac{\partial C}{\partial x} .
\]

Емкость данного конденсатора при условии $d \ll R$ определяется формулой для плоского конденсатора, поэтому если диэлектрик вдвинут на глубину $x$, а длина конденсатора $l$, то
\[
C=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} x \cdot 2 \pi R}{d}+\frac{\varepsilon_{0}(l-x) \cdot 2 \pi R}{d}=\frac{\varepsilon_{0} \cdot 2 \pi R}{d}(\varepsilon x+l-x) .
\]

После подстановки (2) в (1) получим
\[
F_{x}=\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) \pi R U^{2} / d .
\]

4.10. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин, имеющих форму полукруга радиусом $R$, и расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью є. Пластина может свободно поворачиваться вокруг оси $O$ (рис. 4.7), ее толщина $h$, что практически равно расстоянию между неподвижными пластинами. Между пластинами конденсатора поддерживается постоянное напряжение $U$. Найти момент сил $М$ относительно оси $O$, действующий на подвижную пластину в положении, показанном на рисунке.

Решение и Работа, которую совершает момент сил $M$ при повороте пластины на элементарный угол $\mathrm{d} \alpha$, равна убыли электрической энергии системы при $q=$ const [см. (4.16)]:

\[
M_{z} \mathrm{~d} \alpha=-\left.\mathrm{d} W\right|_{q},
\]

где $W=q^{2} / 2 C$. Поэтому
\[
M_{2}=-\left.\frac{\partial W}{\partial \alpha}\right|_{q}=\frac{q^{2}}{2} \frac{\partial C / \partial \alpha}{C^{2}} .
\]

В данном случае $C=C_{1}+C_{\varepsilon}$, где $C_{1}$ и $C_{\ell}$ – емкости частей конденсатора без диэлектрика и с диэлектриком. Площадь сектора с углом $\alpha$ определяется как $S=\alpha R^{2} / 2$, поэтому
\[
C=\varepsilon_{0} \alpha R^{2} / 2 h+\varepsilon \varepsilon_{0}(\pi-\alpha) R^{2} / 2 h .
\]

Отсюда $\frac{\partial C}{\partial \alpha}=\frac{\varepsilon_{0} R^{2}}{2 h}(1-\varepsilon)$. Подставим это выражение в формулу (1) и учтем, что $C=q / U$, тогда
\[
\begin{array}{l}
M_{z}=\frac{U^{2}}{2} \frac{\varepsilon_{0} R^{2}}{2 h}(1-\varepsilon)= \\
=-(\varepsilon-1) \frac{\varepsilon_{0} R^{2} U^{2}}{4 h}<0 .
\end{array}
\]

Отрицательное значение $M_{z}$ показывает, что момент этих сил действует по часовой стрелке (против положительного направления отсчета угла $\alpha$; см. рис. 4.7). Этот момент стремится втянуть диэлектрик внутрь конденсатора.

Заметим, что $M_{z}$ не зависит от угла $\alpha$. Однако в положении равновесия, когда $\alpha=0$, момент $M_{z}=0$. Это расхождение связано с тем, что при малых углах $\alpha$ нельзя пренебрегать краевыми эффектами, как мы делали при решении этой задачи.