Уравнения Максвелла в интегральной форме.
С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была блестяще завершена. Открытие тока смещения ( $\partial \mathbf{D} / \partial t)$ позволило Максвеллу создать един у теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.

До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории. Теперь можно представить всю картину в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики, вижных средах. Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с каждым из них в отдельности в предшествующих разделах, а сейчас просто соберем их все вместе).

В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид:

где $\rho$ – объемная плотность сторонних зарядов, $\mathbf{j}$ – плотность тока проводимости.

Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле. Содержание этих уравнений заключается в следующем:
1. Циркуляция вектора $\mathbf{E}$ по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под E понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое (циркуляция последнего, как известно, равна нулю).
2. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.
4. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.

Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов E и Н следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электромагнитное поле.

Если же поля стационарны ( $\mathbf{E}=$ const и $\mathbf{B}=$ const ), то уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:
\[
\begin{array}{ll}
\oint \mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{l}=0, & \oint \mathbf{D} \mathrm{d} \mathbf{S}=q, \\
\oint \mathbf{H} \mathrm{d} \mathbf{l}=I, & \oint \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{S}=0 .
\end{array}
\]

В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга, что и позволило нам изучить сначала постоянное э.лектрическое поле, а затем независимо от него и постоянное магнитное поле.

Необходимо подчеркнуть, что рассуждения, с помощью которых мы пришли к уравнениям Максвелла, ни в коей

мере не могут претендовать на их доказательство. Эти уравнения нельзя «вывести», они являются основными аксиомами, постулатами электродинамики, полученными путем обобщения опытных фактов. Эти постулаты играют в электродинамике такую же роль, как законы Ньютона в классической механике или начала термодинамики.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Уравнения (10.10) и (10.11) можно представить в дифференциальной форме, т. е. в виде системы дифференциальных уравнений, а именно:

Уравнения (10.13) говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум причинам. Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние, так и связанные (это следует из уравнения $
abla \cdot \mathbf{D}=\rho$, если учесть, что $\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}$ и $
abla \cdot \mathbf{P}=-\rho^{\prime}$, тогда $
abla \cdot \mathbf{E} \sim$ $\sim\left(\rho+\rho^{\prime}\right)$. Во-вторых, поле E образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея).

Уравнения же (10.14) говорят о том, что магнитное поле В может возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями, либо тем и другим одновременно (это следует из уравнения $
abla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\partial \mathbf{D} / \partial t$, если учесть, что $\mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu_{0}-\mathbf{J}$ и $
abla \times \mathbf{J}=\mathbf{j}^{\prime}$, тогда $
abla \times \mathbf{B} \sim \mathbf{j}+$ $+\mathbf{j}^{\prime}+\partial \mathbf{P} / \partial t+\varepsilon_{0} \partial \mathbf{E} / \partial t$, где $\mathbf{j}^{\prime}$ – плотность тока намагничивания; $\partial \mathbf{P} / \partial t$ – плотность тока поля ризаци и. Первые три тока связаны с движением зарядов, последний ток – с изменяющимся во времени полем E). Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам (по аналогии их называют магнитными зарядами), в природе не существует, это следует из уравнения $
abla \cdot \mathbf{B}=$ $=0$.

Значение уравнений Максвелла в дифференциальной форме не только в том, что они выражают основные законы электромагнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля Е и В.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца
\[
\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=q \mathbf{E}+q[\mathbf{v B}]
\]

составляют фундаментальную систему уравнений. Эта система в принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые эффекты.

Граничные условия.
Уравнения Максвелла в интегральной форме обладают большей общностью, чем дифференциальные, ибо они справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно. Уравнения же Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно.

Можно, однако, достигнуть такой же общности и для дифференциальной формы уравнений, если дополнить их граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла и имеют уже знакомый нам вид:
\[
D_{1 n}=D_{2 n}, \quad E_{1 \tau}=E_{2 \tau}, \quad B_{1 n}=B_{2 n}, \quad H_{1 \tau}=H_{21}
\]
(здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости). Заметим также, что приведенные граничные условия справедливы как для постоянных, так и для переменных полей.

Материальные уравнения.
Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов.

Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называют материальными уравнениями. Вообще говоря, эти уравнения достаточно сложны и не обладают той общностью и фундаментальностью, которые свойственны уравнениям Максвелла.

Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид (он нам уже знаком):
\[
D=\varepsilon \varepsilon_{0} E, \quad B=\mu \mu_{0} \mathbf{H}, \quad \mathbf{j}=\sigma\left(\mathrm{E}+\mathrm{E}^{*}\right),
\]

где $\varepsilon, \mu, \sigma$ – известные нам постоянные, характеризующие

электрические и магнитные свойства среды (диэлектрическая и магнитная проницаемости и электропроводимость), E* – напряженность поля сторонних сил, обусловленная химическими или тепловыми процессами.