Теорема о циркуляции вектора $\mathbf{H}$ (для магнитного поля постоянных токов).
В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В теперь будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания, а именно:
\[
\oint \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{l}=\mu_{0}\left(I+I^{\prime}\right),
\]

где $I$ и $I^{\prime}$ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые заданным контуром $\Gamma$.

Ввиду того что определение токов $I^{\prime}$ в общем случае задача сложная, формула (7.8) становится малопригодной в практическом отношении. Оказывается, однако, можно найти некоторый вспомогательный вектор, циркуляция которого будет определяться только токами проводимости, охватываемыми контуром Г. Действительно, мы уже знаем, что с током $I^{\prime}$ связана циркуляция намагниченности:
\[
\oint \mathbf{J} \mathrm{d} \mathbf{l}=I^{\prime} .
\]

Предполагая, что циркуляция векторов В и Ј берется по одному и тому же контуру $\Gamma$, выразим $I^{\prime}$ в уравнении

(7.8) по формуле (7.9), тогда:
\[
\oint\left(\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{J}\right) \mathrm{d} \mathbf{l}=I .
\]

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой Н.

Итак, мы нашли некоторый вспомогательный в кт о p $\mathbf{H :}$

циркуляция которого по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов проводимости $I$, охватываемых этим контуром:

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Правило знаков для токов то же, что и в случае циркуляции вектора В (см. с. 140).

Заметим, что вектор Н представляет собой комбинацию двух совершенно различных величин В/ $\mu_{0}$ и Ј. Поэтому вектор $\mathbf{H}$ – это действительно вспомогательный вектор, не имеющий сколько-нибудь глубокого физического смысла *. Однако важное свойство вектора Н, выраженное в теореме о его циркуляции, оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в магнетиках.

И еще, соотношения (7.11) и (7.12) справедливы для любых магнетиков, в том числе и анизотропных.

Из формулы (7.12) видно, что модуль вектора Н имеет размерность силы тока, деленной на длину. В связи с этим единицей величины Н является ампер на метр (A/м).

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора $\mathrm{H}$ :
т. е. ротор вектора н равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.

Связь между векторами J и Н.
Мы уже знаем, что намагниченность $\mathbf{J}$ зависит от магнитной индукции В в данной точке вещества. Однако $\mathbf{J}$ принято связывать не с $\mathbf{B}$, а с вектором Н. Мы ограничимся пока рассмотрением только таких магнетиков, для которых зависимость между $\mathbf{J}$ и $\mathbf{H}$ имеет линейный характер, а именно:
\[
\mathbf{J}=\chi \mathbf{H},
\]

где $\chi$ – магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика (безразмерность $\chi$ следует из того, что согласно (7.11) размерности Н и Ј одинаковы).

В отличие от диэлектрической восприимчивости $\chi$, которая всегда положительна, магнитная восприимчивость $\chi$ бывает как положительной, так и отрицательной. Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости (7.14), подразделяют на парамагнетики ( $\chi>0$ ) и диамагнетики $(\chi<0)$. У парамагнетиков $\mathbf{J} \uparrow \uparrow \mathbf{H}$, у диамагнетиков $\mathbf{J} \uparrow \downarrow \mathbf{H}$.

Заметим, что кроме этих магнетиков существуют ферромагнетики, у которых зависимость $\mathbf{J}(\mathbf{H})$ имеет весьма сложный характер: она не линейная и, помимо того, наблюдается гистере зис, т. е. зависимость $\mathbf{J}$ от предыстории магнетика. (Более подробно о ферромагнетиках будет рассказано в § 7.6.)

Связь между В и Н.
Для магнетиков, которые подчиняются зависимости (7.14), выражение (7.11) принимает вид $(1+\chi) \mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu_{0}$. Отсюда
\[
\text { B }=\mu \mu_{0} \mathbf{H},
\]

где $\mu-$ магнитная проницаемость среды,
\[
\mu=1+\chi \text {. }
\]

У парамагнетиков $\mu>1$, у диамагнетиков $\mu<1$, причем как у тех, так и у других $\mu$ отличается от единицы весьма мало, т. е. магнитные свойства этих магнетиков выражены очень слабо.

Замечание о поле вектора Н.
Обратимся к вопросу, с которым связано довольно часто встречающееся заблуждение: от каких токов зависит поле вектора Н? Поле Н зависит, вообще говоря, от всех токов – и от токов проводимости, и от токов намагничивания (как и поле вектора В). Об этом говорит уже формула (7.15). Однако в некоторых случаях поле $\mathbf{H}$ определяется только токами проводимости – именно для таких случаев вектор Н является весьма полезным. Вместе с тем это дает повод

ошибочно думать, что поле вектора Н якобы зависит всегда только от токов проводимости и неверно трактовать теорему о циркуляции вектора $\mathbf{H}$ и уравнение (7.13). Указанная теорема выражает только определенное свойство поля вектора $\mathbf{H}$, само же поле этого вектора она не определяет.
Пример. Система состоит из длинного прямого провода $с$ током $I$ и произвольного куска парамагнетика (рис. 7.6). Выясним, что произойдет с полями векторов $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$, а также с циркуляцией вектора $\mathbf{H}$ по некоторому фиксированному контуру $\Gamma$, если магнетик удалить.

В каждой точке пространства поле В обусловлено как током проводимости $I$, так и токами намагничивания в парамагнетике. А так как в нашем случае согласно (7.15) $\mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu \mu_{0}$, то сказанное относится и к полю вектора $\mathbf{H}$ – опо тоже зависит и от тока проводимости $I$, и от токов намагничивания.

Удаление куска парамагнетика приведет к изменению поля $\mathbf{B}$, а значит, и поля Н. Изменится и циркуляция вектора В по контуру $\Gamma$, так как поверхность, натянутую на контур $\Gamma$, уже не будут пронизывать токи намагничивания, остается только ток проводимости. Циркуляция же вектора Н по контуру Г остается прежней, несмотря на изменение самого поля $\mathbf{H}$.

Когда внутри магнетика $\mathbf{j}^{\prime}=0$ ?
Мы сейчас покажем, что токи намагничивания внутри магнетика будут отсутствовать, если: 1) магнетик однородный и 2) внутри него нет токов проводимости $(\mathbf{j}=0$ ). В этом случае при любой форме магнетика и при любой конфигурации магнитного поля можно быть уверенным, что объемные токи намагничивания равны нулю и остаются только поверхностные токи намагничивания.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой о циркуляции вектора $\mathbf{J}$ по произвольному контуру $\boldsymbol{\Gamma}$, взятому целиком внутри магнетика. В случае однородного магнетика можно, заменив $\mathbf{J}$ на $\chi \mathbf{H}$, вынести в уравнении (7.5) $\chi$ из-под интеграла и записать
\[
I^{\prime}=\chi \oint \mathbf{H ~ d l} .
\]

Оставшийся интеграл равен согласно (7.12) алгебраической сумме токов проводимости $I$, охватываемых контуром $\Gamma$, поэтому для однородного магнетика
\[
I^{\prime}=\chi I .
\]

Это соотношение между токами $I^{\prime}$ и $I$ справедливо для

любого контура внутри магнетика, в частности и для очень малого контура, когда $I^{\prime} \rightarrow \mathrm{d} I^{\prime}=j_{n}^{\prime} \mathrm{d} S$ и $I \rightarrow \mathrm{d} I=j_{n} \mathrm{~d} S$. Тогда $j_{n}^{\prime} \mathrm{d} S=\chi i_{n} \mathrm{~d} S$, и после сокращения на $\mathrm{d} S$ мы получим $j_{n}^{\prime}=\chi j_{n}$. Последнее равенство выполняется при любой ориентации малого контура, т. е. при любом направлении номали $\mathbf{n}$ к нему. А это значит, что таким же равенством связаны и сами векторы $\mathbf{j}^{\prime}$ и $\mathbf{j}$ :
\[
\mathbf{j}^{\prime}=\chi \mathbf{j} \text {. }
\]

Отсюда следует, что в однородном магнетике $\mathrm{j}^{\prime}=0$, если $\mathbf{j}=0$. Это и требовалось доказать.