Условие квазистационарности. Когда происходят электрические колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи (из-за того что электромагнитные возмущения распространяются хотя и с очень большой, но конечной скоростью). Однако имеется много случаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи (такой ток называют квазистационарным). Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромагнитных возмущений можно было считать мгновенным. Если $l$ – длина цепи, то на прохождение длины $l$ электромагнитное возмущение затрачивает время порядка $\tau=l / c$. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если
\[
\tau=l / c \ll T,
\]

где $T$ – период изменений.
Например, для цепи длиной $l=3$ м время $\tau=10^{-8} \mathrm{c}$ и токи можно считать квазистационарными вплоть до частот $10^{6} \Gamma_{ц}$ (это соответствует $T=10^{-6} \mathrm{c}$ ).

В этой главе мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых нами случаях условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными. Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использовать тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома.

Колебательный контур.
В цепи, содержащей катушку индуктивности $L$ и конденсатор емкости $C$, могут возникнуть электрические колебания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.

Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. $11.1, a)$. При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ $К$. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку $L$ потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума (рис. 11.1, б). С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу – его будет поддерживать э. д. с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец,

ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т. д. – процесс будет повторяться.

В контуре при отсутствии сопротивления проводников будут совершаться строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Если же сопротивление проводников $R
eq 0$, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.

Сопротивление проводников цепи $R$ принято называть активным сопротивлением.

Рис. 11.1
Рис. 11.2

Уравнение колебательного контура.
Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор $C$, катушку индуктивности $L$, активное сопротивление $R$ и внешнюю переменную э. д. с. $\mathscr{E}$ (рис. 11.2).

Прежде всего выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке. Обозначим через $q$ заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура. Тогда ток в контуре определяется как
\[
I=\mathrm{d} q / \mathrm{d} t .
\]

Следовательно, если $I>0$, то и $\mathrm{d} q>0$, и наоборот (знак $I$ совпадает со знаком $\mathrm{d} q$ ).
Согласно закону Ома для участка цепи $1 R L 2$
\[
R I=\varphi_{1}-\varphi_{2}+\mathscr{E}_{s}+\mathscr{Z},
\]

где $\mathscr{E}_{s}$ – э. д. с. самоиндукции. В нашем случае
\[
\mathscr{E}_{s}=-L \mathrm{~d} I / \mathrm{d} t \quad \text { и } \quad \varphi_{2}-\varphi_{1}=q / C
\]
(знак $q$ должен совпадать со знаком разности $\varphi_{2}-\varphi_{1}$, ибо $C>0$ ). Поэтому уравнение (11.2) можно переписать в виде
\[
L \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{~d} t}+R I+\frac{q}{C}=\mathscr{g},
\]

или с учетом (11.1) как

Это и есть уравнение колебательного контура а – линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя с помощью этого уравнения $q(t)$, мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как $U_{C}=$ $=\varphi_{2}-\varphi_{1}=q / C$ и силу тока $I$ по формуле (11.1) .

Уравнению колебательного контура можно придать иной вид:

где введены обозначения
\[
2 \beta=R / L, \quad \omega_{0}^{2}=1 / L C .
\]

Величину $\omega_{0}$ называют собственной частотой контура, $\quad \beta-$ коэффициентом затухания. Смысл этих названий мы выясним ниже.

Если $\mathscr{E}=0$, то колебания принято называть с в о б одными. При $R=0$ они будут незатухающими, при $R
eq 0$ – затухающими. Рассмотрим последовательно все эти случаи.