Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.

Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле, например) равна $\rho$.

Выделим мысленно элемент объема $\mathrm{d} V$ проводника. В нем находится заряд – носитель тока, равный $\rho \mathrm{d} V$. Тогда сила, действующая на элемент $\mathrm{d} V$ проводника, может быть записана по формуле (6.1) в виде
\[
\mathrm{d} \mathbf{F}=\rho[\mathbf{u B}] \mathrm{d} V .
\]

Так как $\mathbf{j}=\rho \mathbf{u}$, то

Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.8) $\mathbf{j} \mathrm{d} V=I \mathrm{~d}$ и

где dl – вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.

Формулы (6.28) и (6.29) выражают з акон Ам пера. Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.

Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют ам перовыми или силами Ампера.

Пример.
Сила взаимодействия параллельных токов.
Найти амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами $I_{1}$ и $I_{2}$, если расстояние между проводами равно $b$. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.

Қаждый элемент тока $I_{2}$ находится в магнитном поле тока $I_{1}$, а именно в поле $B_{1}=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 2 I_{1} / b$ согласно (6.19). Угол между элементом тока $I_{2}$ и вектором $\mathbf{B}_{1}$ прямой, поэтому, как следует из формулы (6.29), на единицу длины проводника с током $I_{2}$ действует сила $F_{\text {ед }}=I_{2} B_{1}$, или
\[
F_{\text {eд }}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 I_{1} I_{2}}{b} .
\]

Для силы, действующей на единицу длины проводника с током $I_{1}$, получается, разумеется, то же выражение.

И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные – отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила – сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников. Поэтому, если говорить о пол-
ной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания – все зависит от соотношения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).

Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (6.29) как
\[
\mathbf{F}=I \oint[\mathrm{d} \mathbf{l}, \mathbf{B}],
\]

где интегрирование проводится по данному контуру с током $I$.

Если магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла $\oint \mathrm{dl}$. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов $\mathrm{dl}$, поэтому он равен нулю. Значит, и $\mathbf{F}=0$, т. е.црезультирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.

Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (6.31), вообще говоря, отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения (6.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плоский и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элемент р рны.
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$. По определению
\[
\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=I S \mathbf{n},
\]

где $I$ – ток; $S$ – площадь, ограниченная контуром; n- нормаль к контуру, на-
Рис. 6.11 правление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 6.11). В магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом $\mathbf{p}_{m}$.

Довольно кропотливый расчет по формуле (6.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:

где $p_{\mathrm{m}}$ – модуль магнитного момента контура; $\partial \mathbf{B} / \partial n-$ производная вектора В по направлению нормали $\mathbf{n}$ или по направлению вектора $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$. Последнее выражение аналогично (1.39) для силы, действующий на электрический диполь в электрическом поле.

Из формулы (6.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
1) в однородном магнитном поле $\mathbf{F}=0$, ибо $\partial \mathbf{B} / \partial n=0$;
2) направление вектора $\mathbf{F}$, вообще говоря, не совпадает ни с вектором $\mathbf{B}$, ни с вектором $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$; вектор $\mathbf{F}$ совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора В, взятого в направлении вектора $\mathbf{p}_{m}$ в месте расположения контура. Сказанное иллюстрирует рис. 6.12 , где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока $I_{0}$. Здесь же показан и вектор результирующей силы $\mathbf{F}$, которая действует на контур в каждом случае (полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).

Рис. 6.12
Рис. 6.13

Если нас интересует проекция силы $\mathbf{F}$ на некоторое направление $X$, то достаточно записать выражение (6.33) в проекциях на это направление, и мы получим
\[
F_{x}=p_{\mathrm{m}} \frac{\partial B_{x}}{\partial n},
\]

где $\partial B_{x} / \partial n$ – производная соответствующей проекции вектора В опять же по направлению нормали $\mathbf{n}$ к контуру (или по $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ ).

Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент $\mathbf{p}_{m}$, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор $\mathbf{p}_{\mathbf{m}}$ –

в направлении вектора В. Выберем положительное направление оси $X$, как показано на рис. 6.13. Так как в направлении вектора $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ приращение проекции $B_{x}$ будет отрицательным, то $F_{x}<0$. Значит, вектор $\mathbf{F}$ направлен влево – в сторону, где $B$ больше. Если же контур с током (и вектор $\mathbf{p}_{m}$ ) повернуть на $90^{\circ}$ так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении $F_{x}=0$, а вектор $\mathbf{F}$ будет направлен перпендикулярно оси $X$, причем в ту же сторону, что и $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$.