Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля В, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.

Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию В поля снаружи и внутри провода.

Из симметрии задачи следует, что линии вектора В в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси

Рис. 6.6
Рис. 6.7

провода. Причем модуль вектора В должен быть одинаков во всех точках на расстоянии $r$ от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора В для круглого контура $\Gamma_{1}$ (рис. 6.6) $B \cdot 2 \pi r=\mu_{0} I$, откуда следует, что вне провода
\[
B=\left(\mu_{0} / 2 \pi\right) I / r(r \geqslant a) .
\]

Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара) оказывается гораздо более сложным.

Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора В являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора В для круглого контура $\Gamma_{2}$ (см. рис. 6.6) $B \cdot 2 \pi r=\mu_{0} I_{r}$, где $I_{r}=I(r / a)^{2}$ – ток, охватываемый данным контуром. Отсюда мы находим, что внутри провода
\[
B=\left(\mu_{0} / 2 \pi\right) \operatorname{Ir} / a^{2}(r \leqslant a) .
\]

Зависимость $B(r)$ показана графически на рис. 6.7.
Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция $B$ определяется формулой (6.18), а внутри – магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора В.

Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток $I$ течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют с оленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится $n$ витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать
текущим по его поверхности.
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнитного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.

Рис. 6.8
Рис. 6.9

Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор В составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.

Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнитного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный контур так, как показано на рис. 6.8. Циркуляция вектора В по данному контуру равна $B l$, и контур охватывает ток $n l I$. Согласно теореме о циркуляции $B l=\mu_{0} n l I$, откуда следует, что внутри длинного соленонда
\[
B=\mu_{0} n \boldsymbol{L}
\]
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение $n I$ называют числом ам первитков. При $n=2000$ витков/м и $I=2$ А магнитное поле внутри соленоида $B=5$ мТл.

Пример 3. Магнитное поле тороида.
Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. $6.9)$.

Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора В должны быть окружностями, центры которых расположены на оси $O O^{\prime}$ тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.

Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток $N I$, где $N$ – число витков в тороидальной катушке; $I$ – ток в проводе. Пусть радиус контура $r$, тогда по теореме о циркуляции $B \cdot 2 \pi r=\mu_{0} N I$, откуда следует, что внутри тороида
\[
B=\left(\mu_{0} / 2 \pi\right) N I / r .
\]

Из сравнения (6.21) с (6.18) видно, что внутри тороида

магнитное поле совпадает с полем прямого тока $N I$, текущего вдоль оси $O O^{\prime}$. Устремив $N$ и радиус торонда $R$ к бесконечности (при неизменном сеченин тороида), в пределе получим выражение (6.20) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.

Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает, поэтому для такого контура $B \cdot 2 \pi r=0$. Это значит, что вне торонда магнитное поле отсутствует.

В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось $O O^{\prime}$ тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат строго в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси $O O^{\prime}$. Эта составляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.

Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одного направления. На рис. 6.10 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено крестиками). Введем понятие линей и ой плотности тока как вектор $\mathbf{i}$, направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходящийся на единицу длины, которая играет роль «поперечного сечения».

Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить, Рис. 6.10 что результирующее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости – вниз, слева – вверх (рис. 6.10). Эти направления легко установить по правилу правого винта.

Для определения индукции поля В воспользуемся теоремой о циркуляции вектора В. Зная, как расположены в этом случае линии вектора в, выберем контур в виде прямоугольника 1234 (рис. 6.10). Тогда по теореме о циркуляции $2 B l=\mu_{0} i l$, где $l$ – длина стороны контура, параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
\[
B=1 / 2 \mu_{0} i .
\]

Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.

Общие соображения.
Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.

Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не должна создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь конфигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет, однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.