Рассмотрим случай, когда заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуумом. На малый элемент $\Delta S$ поверхности проводника действует сила
\[
\Delta \mathbf{F}=\sigma \Delta S \cdot \mathbf{E}_{0},
\]

где $\sigma \Delta S$ – заряд этого элемента, $\mathbf{E}_{0}$ – напряженность поля, создаваемого всеми остальным иарядами

системы в месте нахождения заряда $\sigma \Delta S$. Сразу же заметим, что $\mathbf{E}_{0}$ не равно напряженности $\mathbf{E}$ поля вблизи данного элемента поверхности проводника, однако между ними имеется простая связь. Найдем ее, т. е. выразим $\mathbf{E}_{0}$ через Е.
Пусть $\mathbf{E}_{\sigma}$ – напряженность поля, создаваемого зарядом на площадке $\Delta S$ в точках, очень близких к этой площадке здесь она ведет себя как бесконечная равномерно заряженная плоскость. Тогда согласно (1.10) $E_{\sigma}=\sigma / 2 \varepsilon_{0}$.
Результирующее поле как внутри, так и вне проводника (вблизи площадки $\Delta S$ ) является суперпозицией полей $\mathbf{E}_{0}$ и E $_{\text {q. }}$. По разные стороны площадки $\Delta S$ поле $\mathbf{E}_{0}$ практически одинаково, поле же $\mathbf{E}_{\sigma}$ имеет противоположные направления (рис. 2.4, где для определенности взято $\sigma>0$ ). Из условия $\mathbf{E}=0$ в проводнике следует, что $E_{\sigma}=E_{0}$, тогда снаружи проводника у его поверхности $E=E_{0}+E_{\sigma}=2 E_{0}$. Итак,
\[
\mathbf{E}_{0}=\mathbf{E} / 2
\]

и уравнение (2.3) примет вид
\[
\Delta \mathbf{F}={ }^{1} /{ }_{2} \sigma \Delta S \cdot \mathbf{E} \text {. }
\]

Разделив обе части этого уравнения на $\Delta S$, получим выражение для силы, действующей на единицу поверхности проводника:
\[
\mathbf{F}_{\mathrm{e}}={ }^{1} /{ }_{2} \sigma \mathbf{E} .
\]

Это выражение можно переписать и в другой форме, ибо входящие в него величины $\sigma$ и Е являются взаимно связанными. Действительно согласно (2.2) $E_{n}=\sigma / \varepsilon_{0}$ или $\mathbf{E}=\left(\sigma / \varepsilon_{0}\right) \mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ – внешняя нормаль к элементу поверхности в данной точке проводника. Поэтому
\[
\mathbf{F}_{\mathrm{e} \text { д }}=\frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \mathbf{n}=\frac{\varepsilon_{0} E^{2}}{2} \mathbf{n},
\]

где учтено, что $\sigma=\varepsilon_{0} E_{n}$ и $E_{n}^{2}=E^{2}$. Величину $\mathbf{F}_{\text {сд }}$ называют поверхностной плотностью сил. Не-

зависимо от знака $\sigma$, а значит, и направления $\mathbf{E}$, сила $\mathbf{F}_{\text {ед }}$ всегда направлена, как видно из (2.7), наружу проводника, стремясь его растянуть.

Пример.
Найти выражение для электрической силы, действующей в вакууме на проводник в целом, полагая, что известна напряженность Е поля во всех точках у поверхности проводника.

Умножив (2.7) на $\mathrm{d} S$, получим выражение для силы $\mathrm{dF}$, действующей на элемент поверхности $\mathrm{d} S$ :
\[
\mathrm{d} \mathbf{F}=1 / 2 \varepsilon_{0} E^{2} \mathrm{~d} \mathbf{S},
\]

где $\mathrm{d} \mathbf{S}=\mathbf{n d} S$. Результирующая сила, действующая на весь проводник, определяется интегрированием этого уравнения по всей поверхности проводника:
\[
\mathbf{F}=\frac{\boldsymbol{\varepsilon}_{0}}{2} \oint E^{2} \mathrm{~d} \mathbf{S} .
\]