Теорема Гаусса для поля вектора Р.
Как мы сейчас покажем, поле вектора $\mathbf{P}$ обладает следующим замечательным и важным свойством. Оказывается, поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность $S$ равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью $S$, т. е.

Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора $\mathbf{P}$.

Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая поверхность $\mathcal{S}$ охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, $a$, где диэлектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется – положительные заряды сместятся относительно отрицательных. Найдем заряд, который проходит через элемент $\mathrm{d} S$ замкнутой поверхности $S$ наружу (рис. $3.2,6$ ).
Пусть $1_{+}$и 1_ _ векторы, характеризующие смещения

положительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда ясно, что через элемент поверхности $\mathrm{d} S$ наружу поверхности $S$ выйдет положительный заряд $\rho_{+}^{\prime} l_{+} \mathrm{d} S \times$ $\times \cos \alpha$, заключенный во

Рис. 3.2

«внутренней» части косого цилиндра (рис. $3.2,6$ ). Кроме того, через элемент $\mathrm{d} S$ войдет внутрь поверхности $S$ отрицательный заряд $\rho_{-}^{\prime} l_{-} \mathrm{d} S \cos \alpha$, заключенный во «внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направлении. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности $S$ через элемент $\mathrm{d} S$, как
\[
\mathrm{d} q^{\prime}=\rho_{+}^{\prime} l_{+} \mathrm{d} S \cos \alpha+\left|\rho_{-}^{\prime}\right| l_{-} \mathrm{d} S \cos \alpha .
\]

Поскольку $\left|\rho_{-}^{\prime}\right|=\rho_{+}^{\prime}$,
\[
\mathrm{d} q^{\prime}=\rho_{+}^{\prime}\left(l_{+}+l_{-}\right) \mathrm{d} S \cos \alpha=\rho_{+}^{\prime} l \mathrm{~d} S \cos \alpha,
\]

где $l=l_{+}+l_{-}$- расстояние, на которое сместились относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации.
Далее, согласно (3.4) $\rho_{+}^{\prime} l=P$ и $q^{\prime}=P \mathrm{~d} S \cos \alpha$, или
\[
\mathrm{d} q^{\prime}=P_{n} \mathrm{~d} S=\mathbf{P} \mathrm{d} \mathbf{S} .
\]

Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверхности $S$, мы найдем весь заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого поверхностью $S$, он равен $\oint \mathbf{P d S}$. В результате внутри поверхности $S$ останется некоторый избыточный связанный заряд $q^{\prime}$. Ясно, что вышедший заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности $S$ избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6).

Дифференциальная форма уравнения (3.6).
В дифференциальной форме уравнение (3.6) – теорема Гаусса для поля вектора $\mathbf{P}$ – имеет следующий вид:
т. е. дивергенция поля вектора $\mathbf{P}$ равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.6) точно таким же путем, как и аналогичное

уравнение для вектора E (см. с. 21). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить E на P и $\rho$ на $\rho^{\prime}$.

Когда в диэлектрике $\rho^{\prime}=0$ ?
Как мы сейчас покажем, объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении двух условий: 1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов ( $\rho=0$ ).

Действительно, из основного свойства поля вектора $\mathbf{P}$ (3.6) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив $\mathbf{P}$ на $x \varepsilon_{0} \mathbf{E}$ согласно (3.5), вынести $x$ из-под знака интеграла и записать
\[
x \oint \varepsilon_{0} \mathbf{E} \mathrm{d}=-q^{\prime} .
\]

Оставшийся интеграл есть не что иное, как алгебраическая сумма всех зарядов – сторонних и связанных внутри рассматриваемой замкнутой поверхности $S$, т. е. $q+q^{\prime}$. Поэтому $x\left(q+q^{\prime}\right)=-q^{\prime}$, откуда
\[
q^{\prime}=-\frac{x}{1+x} q .
\]

Это соотношение между избыточным связанным зарядом $q^{\prime}$ и сторонним зарядом $q$ справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда $q^{\prime} \rightarrow \mathrm{d} q^{\prime}=\rho^{\prime} \mathrm{d} V$ и $q \rightarrow \mathrm{d} q=\rho \mathrm{d} V$. Тогда (3.10) после сокращения на $\mathrm{d} V$ примет вид
\[
\rho^{\prime}=-\frac{x}{1+x} \rho .
\]

Отсюда следует, что в однородном диэлектрике $\rho^{\prime}=0$, если $\rho=0$.

Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.

Граничные условия для вектора Р.
Рассмотрим поведение вектора P на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд.

Найдем связь между поляризованностью $\mathbf{P}$ и поверхностной плотностью $\sigma^{\prime}$ связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Для этого воспользуемся свойством (3.6) поля вектора Р. Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположим по разные стороны границы раздела (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а площадь $\Delta S$ каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца

Рис. 3.3

цилиндра вектор Р был бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности $\sigma^{\prime}$ связанного заряда). Пусть $\mathbf{n}$ – общая нормаль к границе раздела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор $\mathbf{n}$ от диэлектрика $I$ к диэлектрику 2 .

Пренебрегая потоком вектора $\mathbf{P}$ сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6):
\[
P_{2 n} \Delta S+P_{1 n^{\prime}} \Delta S=-\sigma^{\prime} \Delta S,
\]

где $P_{2 n}$ и $P_{1 n^{\prime}}$ – проекции вектора $\mathbf{P}$ в диэлектрике 2 на нормаль $\mathbf{n}$ и в диэлектрике $I$ на нормаль $\mathbf{n}^{\prime}$ (рис. 3.3). Учитывая, что проекция вектора $\mathbf{P}$ на нормаль $\mathbf{n}^{\prime}$ равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль $\mathbf{n}$, т. е. $P_{\mathbf{i n}^{\prime}}=-P_{1 n}$, перепишем предыдущее уравнение после сокращения на $\Delta S$ в следующем виде:
\[
P_{2 n}-P_{1 n}=-\sigma^{\prime} .
\]

Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора $\mathbf{P}$ испытывает разрыв, величина которого зависит от $\sigma^{\prime}$. В частности, если среда 2 вакуум, то $P_{2 n}=0$, и условие (3.12) приобретает более простой вид:
\[
\sigma^{\prime}=P_{n}
\]

где $P_{n}$ – проекция вектора $\mathbf{P}$ на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика. Знак проекции $P_{n}$ определяет и знак поверхностного связанного заряда $\sigma^{\prime}$ в данном месте. Последнюю формулу можно представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой (3.5) можно записать:
\[
\sigma^{\prime}=x \varepsilon_{0} E_{n}
\]

где $E_{n}$ – проекция вектора $\mathbf{E}$ (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак $E_{n}$ определяет знак $\sigma^{\prime}$.

Замечание о поле вектора P. Соотношения (3.6) и (3.13) нередко дают основание ошибочно думать, что поле вектора Р зависит только от связанных зарядов. На самом деле это не так. Поле вектора $\mathbf{P}$, как и поле $\mathbf{E}$, зависит от в сех зарядов, как связанных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векторы $\mathbf{P}$ и $\mathbf{E}$ связаны друг с другом соотношением $\mathbf{P}=x \varepsilon_{0} \mathbf{E}$. Связанные заряды определяют не поле вектора $\mathbf{P}$, а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность $S$. Более того, этот поток определяется не всеми связанными зарядами, а только теми, которые охватывает поверхность $S$.