Взаимная индуктивность.
Рассмотрим два неподвижных контура $l$ и 2 (рис. 9.9), расположенные достаточно близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток $I_{1}$, он создает через контур 2 полный магнитный поток $\Phi_{2}$, пропорциональный (при отсутствии ферромагнетиков) току $I_{1}$ :
\[
\Phi_{2}=L_{21} I_{1} .
\]

Совершенно так же, если в контуре 2 течет ток $I_{2}$, он создает через контур $I$ полный магнитный поток
\[
\Phi_{1}=L_{12} I_{2} .
\]

Рис. 9.9

Коэффициенты пропорциональности $L_{12}$ и $L_{21}$ называют взаимной индуктивностью контуров. Очевидно, взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку сквозь один из контуров, создаваемому единичным током в другом контуре. Коэффициенты $L_{12}$ и $L_{21}$ зависят от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Выражаются эти коэффициенты в тех же единицах, что и индуктивность $L$.

Теорема взаимности.
Соответствующий расчет дает (и опыт его подтверждает), что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты $L_{12}$ и $L_{21}$ одинаковы:

Это замечательное свойство взаимной индуктивности принято называть т е орем ой в з а и ност и. Благодаря

этой теореме можно не делать различия между $L_{12}$ и $L_{21}$ и просто говорить о взаимной индуктивности двух контуров.

Смысл равенства (9.25) в том, что в любом случае магнитный поток $\Phi_{1}$ сквозь контур 1 , созданный током $I$ в контуре 2 , равен магнитному потоку $\Phi_{2}$ сквозь контур 2 , созданному т а к и м же током I в контуре 1 . Это обстоятельство нередко позволяет сильно упрощать решение вопроса о нахождении, например, магнитных потоков. Вот два примера.

Пример 1.
В некоторой плоскости лежат два круговых витка I и 2, центры которых совпадают (рис. 9.10). Радиусы витков $a_{1}$ и $a_{2}$. В витке 1 течет ток I. Найти магнитный поток $\Phi_{2}$, охватываемый витком 2 , если $a_{1} \ll a_{2}$.

Ясно, что непосредственно вычислить поток $\Phi_{2}$ – задача весьма сложная, ибо сложной является конфигурация самого поля. Использование же теоремы взаимности чрезвычайно упрощает решение поставленного вопроса. Действительно, пустим тот же ток $I$ по витку 2. Тогда магнитный поток $\Phi_{1}$, создаваемый этим током через виток 1 , при условии $a_{1} \ll a_{2}$ может быть найден очень просто: достаточно умножить магнитную индукцию $B$ в центре витка ( $B=$ $=\mu_{0} I / 2 a_{2}$ ) на площадь круга л $a_{1}^{2}$ и учесть, что согласно теореме взаимности $\Phi_{2}=\Phi_{1}$.

Пример 2.
Пусть контур с током I имеет форму прямоугольника. Как найти магнитный поток Ф через заштрихованную полуплоскость (рис. 9.11), граница которой находится на заданном расстоянии от контура? Предполагается, что эта полуплоскость и контур лежат в одной плоскости.

Магнитное поле тока $I$ здесь также имеет сложную конфигурацию, поэтому непосредственно вычислить интересующий нас поток Ф очень трудно. Однако решение и здесь можно весьма резко упростить, если воспользоваться теоремой взаимности.

Представим себе, что ток $I$ течет не по прямоугольному контуру, а вдоль границы полуплоскости, огибая ее на бесконечно-

сти. Магнитное поле, создаваемое этим током в области прямоугольного контура, имеет простую конфигурацию – это поле прямого тока. Поэтому найти магнитный поток $\Phi^{\prime}$ сквозь прямоугольный контур достаточно легко (путем несложного интегрирования). А по теореме взаимности искомый поток $\Phi=\Phi^{\prime}$, и задача решена.

Однако наличие ферромагнетиков меняет дело, и теорема взаимности перестает выполняться. Убедимся в этом на следующем конкретном примере.

Пример.
Длинный ферромагнитный цилиндр объемом $V$ имеет две обмотки (одна на другой). Одна обмотка содержит $n_{1}$ витков на единицу длины, другая – $n_{2}$. Найти их взаимную индуктивность, пренебрегая краевыми эффектами.

Согласно (9.23) $L_{21}=\Phi_{2} / I_{1}$. Это значит, что мы должны создать ток $I_{1}$ в обмотке $I$ и вычислить полный магнитный поток через все витки обмотки 2. Если в обмотке 2 содержится $N_{2}$ витков, то
\[
\Phi_{2}=N_{2} B_{1} S,
\]

где $S$ – площадь сечения цилиндра. Имея в виду, что $N_{2}=n_{2} l$, $l$ – длина цилиндра, $B_{1}=\mu_{1} \mu_{0} n_{1} I_{1}, \mu_{1}$ – магнитная проницаемость при токе $I_{1}$, запишем: $\Phi_{2}=\mu_{1} \mu_{0} n_{1} n_{2} V I_{1}, V=l S$. Отсюда
\[
L_{21}=\mu_{1} \mu_{0} n_{1} n_{2} V .
\]

Аналогично находим и $L_{12}$ :
\[
L_{12}=\mu_{2} \mu_{0} n_{1} n_{2} V .
\]

Ввиду того что значения $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ в последних двух выражениях, вообще говоря, разные (в ферромагнетиках они зависят от токов $I_{1}$ и $I_{2}$ ), значения $L_{21}$ и $L_{12}$ не совпадают.

Взаимная индукция.
Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из контуров в другом контуре возникает э. д. с. индукции. Это явление и называют в 3 а и м ной и индукцией.

Согласно закону электромагнитной индукции э. д. с., возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно:
\[
\boldsymbol{g}_{1}=-\frac{\mathrm{d} \Phi_{1}}{\mathrm{~d} t}=-L_{12} \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{~d} t}, \mathscr{F}_{2}=-\frac{\mathrm{d} \Phi_{2}}{\mathrm{~d} t}=-L_{21} \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{~d} t} .
\]

Здесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетиков поблизости нет.
C учетом явления самоиндукции ток, например,

в контуре 1 при изменении токов в обоих контурах определяется по закону Ома как
\[
R_{1} I_{1}=\mathscr{E}_{1}-L_{1} \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{~d} t}-L_{12} \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{~d} t} .
\]

где $\mathscr{E}_{1}$ – сторонняя э. д. с. в контуре 1 (помимо индукционных э. д. с.); $L_{1}$ – индуктивность контура 1. Аналогичное уравнение можно записать и для определения силы тока $I_{2}$ в контуре 2.

Отметим, что на явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов – устройств, служащих для преобразования токов и напряжений.

Замечание о знаке $L_{12}$.
В отличие от индуктивности $L$, которая, как было сказано, является существенно положительной величиной, взаимная индуктивность $L_{12}$ – величина алгебраическая (в частности, равная нулю) . Это связано с тем обстоятельством, что, например в (9.23), величины $\Phi_{2}$ и $I_{1}$ относятся к р а 3 ны м контурам. Из рис. 9.9 сразу видно, что знак магнитного потока $\Phi_{2}$ при данном направлении тока $I_{1}$ будет зависеть от выбора нормали к поверхности, ограниченной контуром 2 (или от выбора положительного направления обхода этого контура).
Положительные направления для токов (и э. д. с.) в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно – правилом правого винта – связано направление нормали п к поверхности, ограниченной контуром, т. е. в конечном счете знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину $L_{12}$ мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, т. е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции.

Другими словами, $L_{12}>0$, если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае $L_{12}<0$. В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины $L_{12}$ (рис. 9.12).