– 8.1. Частный случай преобразования полей. Нерелятивистский точечный заряд q движется с постоянной скоростью $\mathbf{v}$. Найти с помощью формул преобразования полей магнитное поле В этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиус-вектором $\mathbf{r}$.

Решение.
Перейдем в $K^{\prime}$-систему отсчета, связанную с зарядом. В этой системе имеется только кулоновское поле напряженностью
\[
\mathrm{E}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{3}} \mathrm{r},
\]

где учтено, что в $K^{\prime}$-системе радиус-вектор $\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}$ (нерелятивистский случай). Теперь перейдем обратно, из $K^{\prime}$-системы в $K$ систему, которая движется относительно $K^{\prime}$-системы со скоростью – v. Для этого воспользуемся формулой для поля В из (8.4), в которой роль штрихованных величин будут играть нештрихованные (и наоборот), а скорость $\mathbf{v}_{0}$ надо заменить на $-\mathbf{v}_{0}$ (рис. 8.4). В нашем случае $\mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}$, поэтому $\mathbf{B}=\mathbf{B}^{\prime}+\left[\mathbf{v E}^{\prime}\right] / c^{2}$. Учитывая, что в $K^{\prime}$-системе $\mathbf{B}^{\prime}=0$ и что $c^{2}=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0}$, находим
\[
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q[\mathbf{v r}]}{r^{3}} .
\]

Мы получили формулу (6.3), которая ранее была постулирована как результат обобщения опытных фактов.

– 8.2. Большая пластинка из однородного диэлектрика і проницаемостью в движется с постоянной нерелятивистской скоростью у в однородном магнитном поле В, как показано на рис. 8.5. Найти поляризованность Р диэлектрика и поверхностную плотность $\sigma^{\prime}$ связанных зарядов.

Рис. 8.4
Рис. 8.5

Решение.
В системе отсчета, связанной с пластинкой, будет наблюдаться кроме магнитного поля и электрическое, обозначим его $\mathbf{E}_{0}^{\prime}$. Согласно формулам преобразования полей (8.4)
\[
\mathbf{E}_{0}^{\prime}=[\mathbf{v B}] .
\]

Поляризованность диэлектрика
\[
\mathbf{P}=\kappa_{0} \mathbf{E}^{\prime}=\varepsilon_{0} \frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}[\mathbf{v B}],
\]

где учтено, что внутри диэлектрика согласно (3.29) $\mathbf{E}^{\prime}=\mathbf{E}_{0}^{\prime} / \varepsilon$. Поверхностная плотность связанных зарядов
\[
\left|\sigma^{\prime}\right|=P=\varepsilon_{0} \frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} v B,
\]

причем на той поверхности пластинки, которая обращена к нам (рис. 8.5), $\sigma^{\prime}>0$, на противоположной $\sigma^{\prime}<0$.

– 8.3. Имеется незаряженный длинный прямой провод с током I. Найти заряд на единицу длины этого провода в системе отсчета, движущейся поступательно с нерелятивистской скоростью $v_{0}$ вдоль проводника в направлении тока $I$.

Решение. В движущейся системе отсчета согласно формулам преобразования (8.4) появится электрическое поле $\mathbf{E}^{\prime}=$ $=\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{B}\right]$, или
\[
E_{r}^{\prime}=-v_{0} \mu_{0} I / 2 \pi r .
\]

Здесь выражение для $B$ получено с помощью теоремы о циркуляции.

С другой стороны, по теореме Гаусса (в движущейся системе отсчета)
\[
E_{r}^{\prime}=\lambda^{\prime} / 2 \pi \varepsilon_{0} r,
\]

где $\lambda^{\prime}$ – заряд на единицу длины провода.
Из сравнения (1) и (2) находим
\[
\lambda^{\prime}=-v_{0} I / c^{2} \text {, }
\]

где $c^{2}=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0}$. Происхождение этого заряда связано с различным лоренцевым сокращением, которое испытывают «цепочки» положительных и отрицательных зарядов (ведь их скорости разные!).

– 8.4. В К-системе отсчета имеется узкий пучок протонов, движущихся с релятивистской скоростью v. На некотором расстоянии от пучка напряженность электрического поля равна $E$. Найти индукцию $B^{\prime}$ магнитного поля на том же расстоянии от пучка в $K^{\prime}$-системе отсчета, перемещающейся со скоростью $v_{0}$ относительно К-системы в направлении движения протонов. Решение. Этот вопрос проще всего решить с помощью

формул (8.1). Но предварительно надо найти индукцию $B$ в $K$-системе на том же расстоянии от пучка, где задана напряженность E.

Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и теоремой Гаусса для вектора $E$, найдем:
\[
B=\mu_{0} I / 2 \pi r, \quad E=\lambda / 2 \pi \varepsilon_{0} r,
\]

где $r$ – расстояние от пучка, $I=\lambda v$ – сила тока, $\lambda$ – заряд на единицу длины пучка. Из этих формул следует, что
\[
B / E=\varepsilon_{0} \mu_{0} I / \lambda=v / c^{2},
\]

здесь $c^{2}=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0}$. Подставив выражение для $B$ из этого уравнения в последнюю из формул преобразования (8.1), получим:
\[
B^{\prime}=\frac{E\left|v-v_{0}\right|}{c^{2} \sqrt{1-\left(v_{0} / c\right)^{2}}} .
\]

При этом, если $v_{0}<v$, то линии вектора $\mathbf{B}^{\prime}$ имеют правовинтовое направление с вектором $\mathbf{v}_{0}$, если же $v_{0}>v$, то – левовинтовое (ибо ток $I^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе в этом случае будет течь в обратную сторону).

– 8.5. Релятивистская заряженная частица движется в пространстве, где имеются однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля $\boldsymbol{E}$ а В. Частица движется прямолинейно по направлению, перпендикулярному векторам Е $и \mathbf{B}$. Найти $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ в системе отсчета, перемещающейся поступательно вместе с частицей.

Р е шен и е. Из характера движения частицы следует, что ее скорость должна удовлетворять условию
\[
v B=E \text {. }
\]

Согласно формулам преобразования (8.1)
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\frac{\boldsymbol{E}+[\mathbf{V B}]}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=0,
\]

ибо в нашем случае сила Лоренца, а значит, и величина $\mathbf{E}+[\mathbf{v B}]$ равны нулю.

Для магнитного поля согласно тем же формулам преобразования
\[
\mathbf{B}^{\prime}=\frac{\mathbf{B}-[\mathbf{v E}] / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Расположение векторов показано на рис. 8.6, откуда видно, что [vE] $\uparrow \uparrow$ В. Поэтому с учетом того, что согласно (1) $v=E / B$, можно записать
\[
B^{\prime}=\frac{B-E^{2} / B c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{B\left(1-\beta^{2}\right)}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]
или в векторном виде
\[
\mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B} \sqrt{1-(E / c B)^{2}} .
\]

Полезно убедиться, что полученные выражения удовлетворяют обоим инвариантам поля.

– 8.6. Движение заряда в скрещенных Е и В полях. Нерелятивистская частица с удельным зарядом $q / m$ движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные Е $и$ В поля (рис. 87). В момент $t=0$ частица находилась в точке 0 и имела нулевую скорость. Найти закон движения частицы, $x(t) u y(t)$.

Решение. Движение частицы происходит под действием силы Лоренца, причем, как нетрудно сообразить, все время в плоскости $X Y$. Проще всего ее движение будет выглядеть в такой $K^{\prime}$-системе отсчета, где будет наблюдаться только магнитное поле. Найдем эту систему отсчета.

Из преобразований (8.4) следует, что $E^{\prime}=0$ в такой системе отсчета, которая движется со скоростью $\mathbf{v}_{0}$, удовлетворяющей соотношению $\mathbf{E}=-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{B}\right]$. Лучше всего взять ту $K^{\prime}$-систему,

Рис. 8.6
Рис. 8.7
Рис. 8.8

скорость $\mathbf{v}_{0}$ которой направлена в положительную сторону оси $X$ (рис. 8.7), ибо в такой системе отсчета частица будет двигаться перпендикулярно вектору $\mathbf{B}^{\prime}$ и ее движение будет наиболее простым.

Итак, в $K^{\prime}$-системе отсчета, которая движется вправо со скоростью $v_{0}=E / B$, поле $\mathbf{E}^{\prime}=0$ и будет наблюдаться только поле В . Согласно (8.4) и рис. 8.7
\[
\mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B}-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}\right] / c^{2}=\mathbf{B}\left(1-v_{0}^{2} / c^{2}\right) .
\]

Для нерелятивистской частицы $v_{0} \ll c$, и можно считать, что $\mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B}$.

В данной $K^{\prime}$-системе отсчета частица будет двигаться только в магнитном поле, причем перпендикулярно его направлению. Уравнение движения частицы в этой системе отсчета будет иметь вид
\[
m v_{0}^{2} / R=q v_{0} B .
\]

Это уравнение записано для момента $t=0$, когда в $K^{\prime}$-системе частица двигалась, как показано на рис. 8.8. Так как сила Лоренца $\mathbf{F}$ направлена всегда перпендикулярно скорости частицы, то $v_{0}=$ const и из (1) следует, что частица в $K^{\prime}$-системе будет двигаться по окружности радиусом
\[
R=m v_{0} / q B
\]

Таким образом, частица движется равномерно со скоростью $v_{0}$ по окружности в $K^{\prime}$-системе, которая, в свою очередь, перемещается равномерно вправо также со скоростью $v_{0}=E / B$. Так ведет себя точка $q$ на ободе колеса (рис. 8.9), катящегося с угловой скоростью $\omega=v_{0} / R=q B / m$.

Из рис. 8.9 сразу видно, что координаты частицы $q$ в момент $t$ есть
\[
\begin{array}{l}
x=v_{0} t-R \sin \omega t=a(\omega t-\sin \omega t), \\
y=R-R \cos \omega t=a(1-\cos \omega t),
\end{array}
\]

где $a=m E / q B^{2}, \omega=q B / m$.
– 8.7. В инерциальной К-системе отсчета имеется только однородное электрическое поле Е. Найти модули и направления векторов $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе отсчета, движущейся по отношению к К-системе с постоянной релятивистской скоростью $\mathbf{v}_{0}$ под углом $\alpha$ к вектору $\mathbf{E}$.
Рис. 8.9
Рис. 8.10
Решение. Согласно формулам преобразования
с учетом того, что в $K$-системе $\mathbf{B}=0$, получим
\[
E_{\|}^{\prime}=E \cos \alpha, \quad E_{\perp}^{\prime}=E \sin \alpha / \sqrt{1-\beta^{2}}, \quad \beta=v_{0} / c .
\]

Отсюда найдем модуль вектора $\mathbf{E}^{\prime}$ :
\[
E^{\prime}=\sqrt{E_{\sharp}^{\prime 2}+E_{\perp}^{\prime 2}}=E \sqrt{\left(1-\beta^{2} \cos ^{2} \alpha\right) /\left(1-\beta^{2}\right)},
\]

а угол $\alpha^{\prime}$ между векторами $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{v}_{0}$ по формуле
\[
\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=E_{\perp}^{\prime} / E_{\Downarrow}^{\prime}=\operatorname{tg} \alpha / \sqrt{1-\beta^{2}}
\]

$\mathbf{B}^{\prime}$ :
Аналогичным образом найдем модуль и направление вектора
\[
\mathbf{B}_{\|}^{\prime}=0, \quad \mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}\right] /\left(c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}\right), \quad \mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B}_{\perp}^{\prime} .
\]

Это значит, что вектор $\mathbf{B}^{\prime} \perp \mathbf{v}_{0}$ и его модуль
\[
B^{\prime}=v_{0} E \sin \alpha /\left(c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}\right) .
\]

– 8.8. В К-системе отсчета имеются однородные электрическое $\mathbf{E}$ и магнитное В поля одного направления. Найти модули векторов $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ и угол между ними в $K^{\prime}$-системе отсчета, движущейся с постоянной релятивистской скоростью $\mathbf{v}_{0}$ в направлении, перпендикулярном векторам Е $и \mathbf{B}$.

Решение. Согласно формулам (8.1) в $K^{\prime}$-системе отсчета оба вектора $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ будут также расположены перпендикулярно вектору $\mathbf{v}_{0}$ (рис. 8.10). Модули векторов $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ находим по формулам:
\[
E^{\prime}=\sqrt{\frac{E^{2}+\left(v_{0} B\right)^{2}}{1-\left(v_{0} / c\right)^{2}}}, \quad B^{\prime}=\sqrt{\frac{B^{2}+\left(v_{0} E / c^{2}\right)^{2}}{1-\left(v_{0} / c\right)^{2}}} .
\]

Угол между векторами $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ определим через тангенс по формуле
\[
\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\operatorname{tg}\left(\alpha_{E}^{\prime}+\alpha_{B}^{\prime}\right)=\left(\operatorname{tg} \alpha_{E}^{\prime}+\operatorname{tg} \alpha_{B}^{\prime}\right) /\left(1-\operatorname{tg} \alpha_{E}^{\prime} \operatorname{tg} \alpha_{B}^{\prime}\right) .
\]

Поскольку $\operatorname{tg} \alpha_{E}^{\prime}=v_{0} B / E$ и $\operatorname{tg} \alpha_{B}^{\prime}=v_{0} E / c^{2} B$ (рис. 8.10), то
\[
\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\frac{v_{0}\left(B^{2}+E^{2} / c^{2}\right)}{\left(1-\beta^{2}\right) E B} .
\]

Отсюда видно, что при $v_{0} \rightarrow c(\beta \rightarrow 1)$ угол $\alpha^{\prime} \rightarrow \pi / 2$. Можно сделать и обратное заключение: если в одной системе отсчета известны $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$, причем угол между этими векторами меньше $90^{\circ}$, то существуют системы отсчета, где оба вектора $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ взаимно параллельны.

8.9. Инвариант ЕВ. Показать с помощью формул преобразования (8.1), что величина ЕВ является инвариантом. Решение. В $K^{\prime}$-системе отсчета это произведение
\[
\mathbf{E}^{\prime} \mathbf{B}^{\prime}=\left(\mathbf{E}_{\|}^{\prime}+\mathbf{E}_{\perp}^{\prime}\right)\left(\mathbf{B}_{\|}^{\prime}+\mathbf{B}_{\perp}^{\prime}\right)=\mathbf{E}_{\|}^{\prime} \mathbf{B}_{\|}^{\prime}+\mathbf{E}_{\perp}^{\prime} \mathbf{B}_{\perp}^{\prime} .
\]

Перепишем последнее слагаемое с помощью формул (8.1):
\[
\mathbf{E}_{\perp}^{\prime} \mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=\frac{\left(\mathbf{E}_{\perp}+\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{B}_{\perp}\right]\right)\left(\mathbf{B}_{\perp}-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}_{\perp}\right] / c^{2}\right)}{1-\beta^{2}} .
\]

Учитывая, что векторы $\mathbf{E}_{\perp}$ и $\mathbf{B}_{\perp}$ перпендикулярны вектору $\mathbf{v}_{0}$, преобразуем числитель выражения (2) к виду
\[
\mathbf{E}_{\perp} \mathbf{B}_{\perp}-\left(v_{0} / c\right)^{2} \mathbf{E}_{\perp} \mathbf{B}_{\perp}=\mathbf{E}_{\perp} \mathbf{B}_{\perp}\left(1-\beta^{2}\right),
\]

где использован тот факт, что $\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{B}_{\perp}\right] \cdot\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}_{\perp}\right]=v_{0}^{2} B_{\perp} E_{\perp} \cos \alpha=$ $=v_{0}^{2} \mathbf{B}_{\perp} \mathbf{E}_{\perp}$ (рис. 8.11). Остальные два скалярных произведения в (2) равны нулю, поскольку векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, правая часть равенства (1) приобретает следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{E}_{\|}^{\prime} \mathbf{B}_{\|}^{\prime}+\mathbf{E}_{\perp}^{\prime} \mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=\mathbf{E}_{\|} \mathbf{B}_{\|}+ \\
+\mathbf{E}_{\perp} \mathbf{B}_{\perp}=\mathbf{E B},
\end{array}
\]

что и требовалось показать. 8.10. Поле Е равномерно движущегося заряда. Точечный заряд $q$ движется
Рис. 8.11 равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью v.

Найти напряженность $\mathbf{E}$ поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен $\mathbf{r}$ и составляет угол Ө с вектором v.

Решение. Пусть заряд движется в положительном направлении оси $X K$-системы отсчета. Перейдем в $K^{\prime}$-систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси $X^{\prime}$ и $X$ обеих систем совпадают, оси $Y^{\prime}$ и $Y$ – параллельны). В $K^{\prime}$-системе поле $\mathbf{E}^{\prime}$ заряда имеет наиболее простой вид
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} \mathbf{r}^{\prime},
\]

и в плоскости $X^{\prime} Y^{\prime}$
\[
E_{x}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} x^{\prime}, E_{y}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} y^{\prime} .
\]

Теперь совершим обратный переход в исходную $K$-систему, которая движется относительно $K^{\prime}$-системы со скоростью-v. В момент, когда заряд проходит через начало координат $K$-системы, проекции $x$ и $y$ вектора $\mathbf{r}$ связаны с проекциями $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ вектора $\mathbf{r}^{\prime}$ следующими соотношениями:
\[
x=r \cos \vartheta=x^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}, \quad y=r \sin \vartheta=y^{\prime},
\]

где $\beta=v / c$. Здесь учтено, что продольные размеры испытывают лоренцево сокращение, поперечные же не меняются. Кроме того, согласно преобразованиям, обратным (8.2),
\[
E_{x}=E_{x}^{\prime}, E_{y}=E_{y}^{\prime} / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Подставив сюда выражения (1), а в них вместо $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ соответствующие выражения из формул (2), получим
\[
E_{x}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} \frac{x}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, E_{y}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} \frac{y}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Заметим, что $E_{x} / E_{y}=x / y$, т. е. вектор $\mathbf{E}$ направлен радиально, вдоль вектора г. Дело обстоит так, как если бы эффект запаздывания вообще отсутствовал. Но это имеет место только в случае $\mathbf{v}=$ const, если же заряд движется с ускорением, поле $\mathbf{E}$ оказывается не радиальным.
Остается найти модуль вектора $\mathbf{E}$ :
\[
E=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{\prime 3}} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{1-\beta^{2}}} .
\]

Так как $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ и согласно (2)
\[
r^{\prime 3}=\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)^{3 / 2}=r^{3}\left(\frac{1-\beta^{2} \sin ^{2} \theta}{1-\beta^{2}}\right)^{3 / 2},
\]

то напряженность
\[
E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \frac{1-\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \theta\right)^{3 / 2}} .
\]

– 8.11. Взаимодействие двух движущихся зарядов. Две релятивистские частицы с одинаковым зарядом $q$ движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью $v$, как показано на рис. 8.12. Расстояние между частицами $l$. Воспользовавшись выражением (8.7), найти силу взаимодействия между частицами.

Решен и е. В данном случае угол между вектором $\mathbf{v}$ одной из частиц и направлением на другую частицу $\vartheta=90^{\circ}$, поэтому электрическая часть силы Лоренца в соответствии с формулой (8.7)
\[
F_{9}=q E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{l^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}}
\]

и магнитная часть силы Лоренца
\[
F_{\mathrm{m}}=q v B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q^{2} v^{2}}{l^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

Рис. 8.12
где принято во внимание, что в нашем случае В связано с Е формулой (8.5), из которой $B=v E / c^{2}, c^{2}=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0}$. Заметим, что отношение
\[
F_{\mathrm{M}} / F_{3}=\varepsilon_{0} \mu_{0} v^{2}=(v / c)^{2},
\]

как и в нерелятивистском случае (6.5). Вндно, чти при $v \rightarrow c$ магнитная часть силы $F_{\text {м }} \rightarrow F_{9}$.
Результирующая сила взаимодействия (отталкивания)
\[
F=F_{9}-F_{\mathrm{M}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{l^{2}} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]