Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле – мы будем предполагать, что оно постоянное, – на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а поэтому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током $I$, определяется как
\[
\delta A=I \mathrm{~d} \Phi,
\]

где $\mathrm{d} Ф$ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.

1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис. 6.15) с подвижной перемычкой длины $l$ находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (6.29) действует амперова сила $F=I l B$. При перемещении перемычки вправо на $\mathrm{d} x$ эта сила совершает положительную работу
\[
\delta A=F \mathrm{~d} x=I B l \mathrm{~d} x=I B \mathrm{dS},
\]
где $\mathrm{d} S$ – приращение площади, ограниченной контуром.

Для определения знака магнитного потока Ф условимся всегда брать нормаль $\mathbf{n}$ к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см. рис. 6.15). При этом ток $I$ будет всегда величиной положительной. Поток же $Ф$ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как $\Phi$, так и $\mathrm{d} Ф=B \mathrm{~d} S$ являются величинами положительными (если бы поле в было направлено на Рис. 6.15 нас или перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях $\mathrm{d} \Phi<0)$. Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (6.38) можно представить в виде (6.37).

2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля В. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор В на три составляющие: $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{n}+\mathbf{B}_{1}+$ $+\mathbf{B}_{x}$ – Составляющая $\mathbf{B}_{l}$ – вдоль перемычки – параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая В $_{x}$ – вдоль перемещения – дает силу, перпендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая $\mathbf{B}_{n}-$ перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле (6.38) вместо $B$ надо брать только $B_{n}$. Но $B_{n} \mathrm{~d} S=\mathrm{d} \Phi$, и мы опять приходим к формуле (6.37).

3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобьем мысленно данный контур на бесконечно малые элементы тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение $\delta A=I \mathrm{~d}^{\prime} \Phi$ для элементарной работы, где под d’Ф надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (6.37), где dФ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.

Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от начального положения $l$ до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение $(6.37)$ :
\[
A=\int_{1}^{2} I \mathrm{~d} \Phi .
\]

Если при этом перемещении поддерживать ток $I$ постоянным, то
\[
A=I\left(\Phi_{2}-\Phi_{1}\right),
\]

где $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ – магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях. Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (6.40) дает не только величину, но и знак совершаемой работы.

Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения, при котором нормаль к контуру $\mathbf{n} \downarrow \uparrow \mathbf{B}$, в положение, при котором $\mathbf{n} \uparrow \uparrow$ В (напоминаем, что направление нормали $\mathbf{n}$ связано с направлением тока правилом правого винта). Площадь, ограниченная контуром, равна $S$. Найти работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (6.40)

\[
A=I[B S-(-B S)]=2 I B S .
\]

В данном случае работа $A>0$, при обратном же повороте $A<0$
Следует отметить, что работа (6.40) совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля (оно не меняется), а за счет источника э. д. с., поддерживающего ток в контуре. (Но об этом более подробно будет рассказано в гл.9.)

Задачи

– 6.1. Непосредственный расчет индукции В. Ток I течет по тонкому проводнику, изогнутому, как показано на рис. 6.16. Найти магнитную индукцию В в точке $O$. Необходимые данные указаны на рисунке.

Решение. Искомая величина $B=B_{-}+B_{\smile}$, где $B_{-}-$ магнитное поле от прямолинейного участка контура; $B_{\smile}$ – от его криволинейной части. Согласно закону Био-Савара (см. пример 1 на с. 137)
\[
\begin{array}{c}
B_{-}=2 \int_{0}^{\alpha_{0}} \frac{\mu_{0} I \cos \alpha \mathrm{d} \alpha}{4 \pi a \cos \alpha_{0}}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a} \operatorname{tg} \alpha_{0}, \\
B_{\hookrightarrow}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I\left(2 \pi-2 \alpha_{0}\right) a}{a^{2}}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a}\left(\pi-\alpha_{0}\right) .
\end{array}
\]

В результате
\[
B=\left(\pi-\alpha_{0}+\operatorname{tg} \alpha_{0}\right) \mu_{0} I / 2 \pi a .
\]

Полезно убедиться, что при $\alpha_{0} \rightarrow 0$ мы приходим к известному выражению (6.13).

– 6.2. Тонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из большого числа $N$ плотно расположенных витков, по

Рис. 6.16
Рис. 6.17

которым течет постоянный ток 1. Радиусы внутреннего и внешнего витков равны а и $b$ (рис. 6.17). Найти: 1) магнитную индукцию $B$ в центре спирали – точке $O ; 2$ ) магнитный момент
спирали при данном токе.

Решение 1.
Вклад в магнитную индукцию от одного витка радиуса $r$ равен согласно (6.13)
\[
B_{1}=\mu_{0} I / 2 r
\]

а от всех витков
\[
B=\int B_{1} \mathrm{~d} N,
\]

где $\mathrm{d} N$ – число витков в интервале $(r, r+\mathrm{d} r)$,
\[
\mathrm{d} N=\frac{N}{b-a} \mathrm{~d} r .
\]

После подстановки (1) и (3) в (2) и последующего интегрирования по $r$ от $a$ до $b$ получим
\[
B=\frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \ln \frac{b}{a} .
\]

2. Магнитный момент одного витка радиуса $r$ есть $p_{\mathrm{mi}}=$ $=I \pi r^{2}$, а всех витков $p_{m}=\int p_{m 1} \mathrm{~d} N$, где $\mathrm{d} N$ определяется формулой (3). Интегрирование дает
\[
p_{\mathrm{m}}=\frac{\pi I N}{b-a} \frac{b^{3}-a^{3}}{3}=\frac{\pi I N}{3}\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) .
\]

– 6.3. Ток I течет по длинному прямому проводнику, имеющему форму желоба с поперечным сечением в виде тонкого полукольца радиусом $R$ (рис. 6.18). Найти магнитную индукцию В на оси 0 .

Решение.
Прежде всего выясним, куда направлен вектор В в точке $O$. Для этого мысленно разобьем весь проводник на элементарные нити с током $\mathrm{d} I$. Тогда, ясно, что любые две симметричные нити дадут в сумме вектор $\mathrm{d}$, направленный вправо (рис. 6.19). Значит, туда же будет направлен и вектор В.

Рис. 6.18
Рис. 6.19

Поэтому для нахождения поля $B$ в точке $O$ достаточно найти сумму проекций элементарных векторов dB от каждой нити тока на направление вектора в:
\[
B=\int \mathrm{d} B \sin \varphi .
\]
Согласно
\[
\mathrm{d} B=\mu_{0} \mathrm{~d} l / 2 \pi R,
\]

где $\mathrm{d} I=(I / \pi) \mathrm{d} \varphi$ (см. рис. 6.19). После подстановки (2) в (1) получим
\[
B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi^{2} R} \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi=\frac{\mu_{0} I}{\pi^{2} R} .
\]

– 6.4. Теорема о циркуляции В и принцип суперпозиции. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние І. По проводу течет постоянный ток плотности ј. Найти магнитную индукцию В внутри полости.

Решение.
Искомую величину можно представить согласно принципу суперпозиции как
\[
\mathbf{B}=\mathbf{B}_{0}-\mathbf{B}^{\prime},
\]

где $\mathbf{B}_{0}$ – магнитная индукция в том случае, если бы проводник был сплошным (без полости), а $\mathbf{B}^{\prime}$ – магнитная индукция поля в той же точке от тока, текущего по части провода, которую мы удалили, образовав полость круглого сечения.

Таким образом, задача предусматривает прежде всего вычисление магнитной индукции В внутри сплошного провода на расстоянии $\mathbf{r}$ от его оси. Воспользовавшись теоремой о циркуляции, запишем $2 \pi r B=\mu_{0} \pi r^{2} j$, откуда $B=1 / 2 \mu_{0} r j$. Последнее равенство можно представить с помощью рис. 6.20 в векторной форме:
\[
\mathbf{B}=1 / 2 \mu_{0}[\mathbf{j r}] .
\]

Представив теперь по этой формуле $\mathbf{B}_{0}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$, из выражения (1) найдем их разность:
\[
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{2}[\mathbf{j r}]-\frac{\mu_{0}}{2}\left[\mathbf{j} \mathbf{r}^{\prime}\right]=\frac{\mu_{0}}{2}\left[\mathbf{j}, \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right] .
\]

Рис. 6.20
Рис. 6.21

Из рис. 6.21 видно, что $r=I+r^{\prime}$, откуда $r-r^{\prime}=I$ и
\[
\mathbf{B}=1 / 2 \mu_{0}[\mathbf{j} \mathbf{l}] .
\]

Таким образом, в нашем случае магнитное поле В в полости является однородным, и если ток течет к нам (рис. 6.21), то поле В направлено в плоскости этого рисунка вверх.

– 6.5. Принцип суперпозиции. Имеется длинный соленоид с током I. Площадь поперечного сечения соленоида $S$, число витков на единицу длины п. Найти магнитный поток сквозь торец этого соленоида.

Решение. Пусть поток вектора В сквозь торец соленоида равен $Ф$. Если приставить к данному соленоиду еще такой же, то поток через соприкасающиеся торцы будет $Ф+Ф=\Phi_{0}$, где $\Phi_{0}$ – поток сквозь поперечное сечение соленоида вдали от его торца. Тогда
\[
\Phi=\Phi_{0} / 2=\mu_{0} n I S / 2 .
\]

Попутно следует обратить внимание на следующие особенности поля в у торца длинного соленоида.

1. Линии вектора В расположены так, как показано на рис. 6.22. Это нетрудно понять с помощью принципа суперпозиции: если приставить справа еще такой же соленоид, поле В вне образованного таким образом составного соленоида должно обратиться в нуль, а это возможно только при указанной на рисунке конфигурации поля.

2. Из того же принципа суперпозиции следует, что нормальная составляющая $B_{n}$ будет одинакова по площади торца, ибо при образовании составного соленоида $B_{n}+B_{n}=B_{0}$, где $B_{0}$ – поле внутри соленоида вдали от его торцов. В центре торца $B=B_{n}$, и мы получаем, что $B=B_{0} / 2$.

– 6.6. Поле соленоида. Намоткой длинного соленоида с радиусом сечения а служит тонкая лента-проводник шириной $h$, намотанная в один слой практически вплотную. Вдоль ленты течет постоянный ток I. Найти магнитное поле В внутри и вне соленоида как функцию расстояния $r$ от его оси.

Рис. 6.22
Рис. 6.23

Решение.
Вектор линейной плотности тока i можно представить в виде суммы двух составляющих:
\[
\mathbf{i}=\mathbf{i}_{\perp}+\mathbf{i}_{\|},
\]

смысл векторов $\mathbf{i}_{\perp}$ и $\mathbf{i}_{\text {il }}$ ясен из рис. 6.23 , б. В нашем случае модули этих векторов можно найти с помощью рис. $6.23, a$ по формулам:
\[
\begin{array}{c}
i_{\perp}=i \cos \alpha=i \sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=(I / h) \sqrt{1-(h / 2 \pi a)^{2}}, \\
i_{1}=i \sin \alpha=I / 2 \pi a .
\end{array}
\]

Магнитная индукция $B$ внутри соленоида определяется согласно (6.20) величиной $i_{\perp}$, а вне соленоида – величиной $i_{\|}$:
\[
\begin{array}{c}
B_{i}=\mu_{0} i_{\perp}=\left(\mu_{0} I / h\right) \sqrt{1-(h / 2 \pi a)^{2}} \quad(r<a), \\
B_{a}=\mu_{0} i_{1} a / r=\mu_{0} I / 2 \pi r \quad(r>a),
\end{array}
\]

где при вычислении $\quad B_{a}$ вне соленоида была использована теорема о циркуляции: $2 \pi r B_{a}=\mu_{0} 2 \pi a i_{\|}$.

Таким образом, представив ток в соленоиде в виде суперпозиции «поперечной» и «продольной» составляющих, мы пришли к выводу, что внутри такого соленоида существует только продольная составляющая поля В, а вне соленоида только поперечная (как от прямого тока).

Кроме того, если уменьшить ширину ленты, оставляя неизменной плотность тока, то при $h \rightarrow 0$ сила тока $I \rightarrow 0$, но $I / h=$ $=$ const. В этом случае остается только поле внутри соленоида – соленоид становится «идеальным».

– 6.7. Взаимодействие параллельных проводников. Два длинных провода с пренебрежимо малым сопротивлением замкнуты с одного конца на сопротивление $R$, а $c$ другого конца подключены к источнику постоянного напряжения. Радиус сечения каждого провода в $\eta=20$ раз меньше расстояния между осями проводов. При каком значении сопротивления $R$ результирующая сила взаимодействия проводов обратится 8 нуль?

Решение.
На каждом из проводов (протекает по ним ток или нет) имеются избыточные поверхностные заряды (рис. 6.24 ). Поэтому кроме магнитной силы $F_{\text {м }}$ необходимо учесть и электрическую $F_{3}$. Пусть на единицу длины провода приходится избыточный заряд $\lambda$. Тогда электрическая сила, действующая на единицу длины провода со стороны другого провода, может быть найдена с помощью теоремы Гаусса:
\[
F_{э}=\lambda E=\lambda \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \lambda}{l}=\frac{2 \lambda^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} l},
\]

где $l$ – расстояние между осями проводов. Магнитную же силу,

действующую также на единицу длины провода, можно найти с помощью теоремы о циркуляции вектора B:
\[
F_{\mathrm{n}}=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 2 I^{2} / l .
\]

где $I$ – сила тока в проводе.
Заметим, что обе силы электрическая и магнитная —
Рис. 6.24
направлены в противоположные стороны. Электрическая сила обусловливает притяжение проводов, магнитная – их отталкивание. Найдем отношение этих сил:
\[
F_{\mu} / F_{3}=\varepsilon_{0} \mu_{0} I^{2} / \lambda^{2} .
\]

Между величинами $I$ и $\lambda$ существует определенная связь (см. задачу 2.8):
\[
\lambda=C_{1} U=\frac{\pi \varepsilon_{0}}{\ln \eta} U,
\]

где $U=R I$. Поэтому из соотношения (2) следует, что
\[
I / \lambda=\ln \eta / \pi \varepsilon_{0} R .
\]

После подстановки (3) в (1) получим
\[
\frac{F_{\mathrm{u}}}{F_{\mathrm{s}}}=\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}} \frac{\mid \mathrm{n}^{2} \eta}{\pi^{2} R^{2}}
\]

Результирующая сила взаимодействия обращается в нуль, когда последнее отношение равно единице. Это будет при $R=R_{0}$, где
\[
R_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} \frac{\ln \eta}{\pi}=360 \text { Ом. }
\]

Если $R<R_{0}$, то $F_{\text {м }}>F_{9}$ – провода отталкиваются, если же $R>R_{0}$, то $F_{\mathrm{M}}<F_{\text {s }}$ – провода притягиваются. Это можно наблюдать на опыте.

Таким образом, утверждение, что провода, по которым текут токи противоположного направления, отталкиваются, справедливо тогда, когда электрической частью взаимодействия можно пренебречь, т. е. при достаточно малом сопротивлении $R$ в схеме (6.24).

Кроме того, измерив силу взаимодействия между проводами с током (а сила всегда измеряется как результирующая), мы не можем, вообще говоря, определить силу тока I. Это необходимо иметь в виду во избежание недоразумений.

– 6.8. Момент сил Ампера. В поле длинного прямого провода $c$ током $I_{0}$ находится контур $c$ током $I$ (рис. 6.25).

Плоскость контура перпендикулярна прямому проводу. Найти момент сил Ампера, действующий на этот контур. Необходимые размеры системы указаны на рисунке.
$\mathrm{P}$ е шени е. Силы Ампера, действующие на криволинейные участки контура, равны нулю. Силы же, действующие на прямолинейные участки, создают пару сил. Момент этой пары сил нам и надо вычислить.

Выделим два малых элемента контура (рис. 6.26). Из рисунка видно, что момент соответствующей им пары сил
\[
\mathrm{d} M=2 x \operatorname{tg} \varphi \mathrm{d} F,
\]

где элементарная сила Ампера
\[
\mathrm{d} F=I \mathrm{~d} l B .
\]

Зависимость магнитной индукции $B$ от расстояния $r$ до прямого провода находим с помощью теоремы о циркуляции:
\[
B=\mu_{0} I / 2 \pi r .
\]

Теперь подставим (3) в (2), затем (2) в (1) и, учитывая, что $\mathrm{d} l=\mathrm{d} r$ и $x=r \cos \varphi$, проинтегрируем полученное выражение по $r$ от $a$ до $b$. В результате найдем
\[
M=\left(\mu_{0} / \pi\right) I I_{0}(b-a) \sin \varphi,
\]

причем вектор $\mathbf{M}$ направлен влево (рис. 6.26).

Рис. 6.25
Рис. 6.26

– 6.9. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$, находится на оси кругового витка радиусом $R$, по которому течет ток I. Найти силу F, действующую на катушку, если ее расстояние от центра витка равно $l$, а вектор $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ ориентирован, как показано на рис. 6.27.

Решение. Искомая сила согласно (6.33) определяется так:
\[
\mathbf{F}=p_{\mathrm{m}} \partial \mathbf{B} / \partial n,
\]

где В-магнитная индукция поля, создаваемого витком в месте нахождения катушки. Выберем ось $Z$ в направлении вектора $\mathbf{p}_{m}$, тогда проекция (1) на эту ось будет иметь вид
\[
F_{z}=p_{\mathrm{m}} \partial B_{z} / \partial z=p_{\mathrm{m}} \partial B / \partial z,
\]