Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.

В отличие от формы (1.7) — ее называют интегральной мы будем искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда $\rho$ пространства.

Для этого представим сначала заряд $q$ в объеме $V$, охватываемом замкнутой поверхностью $S$, как $q_{\text{внутр }}=⟨\rho ⟩V$, где $⟨\rho ⟩$ — среднее по объему $V$ значение объемной плотности заряда. Затем подставим это

выражение в уравнение (1.7) и разделим обе части его на $V$. В результате получим
$$\frac{1}{V}\oint \mathbf{E}\mathrm{d}=⟨\rho ⟩/{\epsilon }_0.$$

Теперь устремим объем $V$ к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно, при этом $⟨\rho ⟩$ будет стремиться к значению $\rho$ в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения (1.15) будет стремиться к $\rho /{\epsilon }_0$.

Величину, являющуюся пределом отношения $\oint \mathbf{E}\mathrm{d}\mathbf{S}$ к $V$ при $V\to 0$, называют ди в ргенци й поля $E$ и обозначают $\mathrm{div}\mathbf{E}$. Таким образом, по определению
$$\mathrm{div}\mathbf{E}=\underset{V\to 0}{lim}\frac{1}{V}\oint \mathbf{E}\mathbf{d}.$$

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения (1.16) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат.

Чтобы получить выражение для дивергенции поля Е, надо согласно (1.16) взять бесконечно малый объем $V$, определить поток вектора $\mathbf{E}$ сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции будет завнсеть от выбора системы координат (в разных системах координат оно оказывается разным). Например, в декартовой системе координат
$$\mathrm{div}\mathbf{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.$$

Итак, мы выяснили, что при $V\to 0$ в выражении (1.15) его правая часть стремится к $\rho /{\epsilon }_0$, а левая — к div E. Следовательно, дивергенция поля $\mathbf{E}$ связана с плотностью заряда в той же точке уравнением

Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Написание многих формул н действия с ннми значнтельно упроцаются, еслн ввести векторный дифференциальный оператор $abla$. Операrop $abla$ в декартовых координатах имеет вид
\[

abla=\mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z}
\]

где $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ — орты осей $X,Y,Z$. Сам по себе вектор $abla$ смысла не нмеет. Он приобретает смысл только в сочетанни со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается. Так, напрнмер, если вектор $abla$ умножить скалярно на вектор $\mathbf{E}$, то получим
\[

abla \cdot \mathbf{E}=
abla_{x} E_{x}+
abla_{y} E_{y}+
abla_{z} E_{z}=\frac{\partial}{\partial x} E_{x}+\frac{\partial}{\partial y} E_{y}+\frac{\partial}{\partial z} E_{z},
\]

а это есть не что иное, как $\mathrm{div}\mathbf{E}$, согласно (1.17).
Таким образом, дивергенция поля $E$ может быть записана как $\mathrm{div}\mathbf{E}$ илн $\mathit{a}\mathit{b}\mathit{l}\mathit{a}\cdot \mathbf{E}$ (в обоих случаях читается как «дивергенция $\mathbf{E}$ »). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением. Тогда, например, теорема Гаусса (1.18) будет иметь вид

В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля $\mathbf{E}$ в данной точке зависит только от плотности электрического заряда $\rho$ в той же точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Напрнмер, в разных точках поля точечного заряда поле $\mathbf{E}$ отличается друг от друга. Это же относнтся, вообще говоря, и к пространственным производным $\partial E_x/\partial x,\partial E_y/\partial y,\partial E_z/\partial z$. Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию $\mathbf{E}$, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю.

В тех точках поля, где дивергенция $\mathbf{E}$ положительна, мы имеем источник и поля (положительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна,-стоки (отрицательные заряды). Линии вектора E выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются.