Электрический ток.
В этой главе мы ограничимся рассмотрением тока проводимости в проводящей среде, главным образом в металлах. Электрический ток, как известно, представляет собой перенос заряда через ту

или иную поверхность $S$ (например, через сечение проводника).

Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны (в металлах), либо ионы (в электролитах), либо другие частицы. При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотическое движение и через любую воображаемую поверхность $S$ проходит в обе стороны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так что ток через поверхность $S$ равен нулю. При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью и и через поверхность $S$ появится ток. Таким образом, электрический ток – это, по существу, упорядоченный перенос электрических зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока $I$, т. е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность $S$ в единицу времени:
\[
I=\mathrm{d} Q / \mathrm{d} t .
\]

Единицей силы тока является а м п ер (А).

Плотность тока.
Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока ј. Модуль этого вектора численно равен отношению силы тока $\mathrm{d} I$ через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей, к ее площади $\mathrm{d} S_{\perp}: j=\mathrm{d} I / \mathrm{d} S_{\perp}$. За направление вектора $\mathbf{j}$ принимают направление вектора скорости и упорядоченного движения положительных носителей (или направление, противоположное направлению вектора скорости упорядоченного движения отрицательных носителей). Если носителями являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой
\[
\mathbf{j}=\rho_{+} \mathbf{u}_{+}+\rho_{-} \mathbf{u}_{-},
\]

где $\rho_{+}$и $\rho_{-}$- объемные плотности положительного и отрицательного зарядов-носителей; $\mathbf{u}_{+}$и $\mathbf{u}_{-}$- скорости их упорядоченного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны $\left(\rho_{-}<0\right.$ и $\mathbf{u}_{+}=0$ ), плотность тока
\[
\mathbf{j}=\boldsymbol{\rho}_{-} \mathbf{u}_{-} .
\]

Поле вектора $\mathbf{j}$ можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора j), которые проводят так же, как и линии вектора E.

Зная вектор плотности тока в каждой точке интере. сующей нас поверхности $S$, можно найти и силу тока через эту поверхность как поток вектора $\mathbf{j}$ :
\[
I=\int \mathbf{j} \mathrm{d} \mathbf{S} .
\]

Сила тока $I$ является величиной скалярной и алгебраической. Ее знак, как видно из формулы (5.3), определяется, кроме всего прочего, выбором направления нормали в каждой точке поверхности $\mathcal{S}$, т. е. выбором направления векторов $d \mathbf{S}$. При изменении направления всех векторов dS на противоположное величина $I$ меняет знак.

Уравнение непрерывности.
Представим себе в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность $S$. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы dS принято брать наружу, поэтому интеграл $\oint \mathbf{j} \mathbf{d} \mathbf{S}$ дает заряд, выходяций в единицу времени наружу из объема $V$, охватываемого поверхностью $S$. В силу закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема $V$ :

Это соотношение называют уравнением непрерывности. Оно являетея, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда.

В случае стационарного (постоянного) тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т. е. в правой части (5.4) $\mathrm{d} q / \mathrm{d} t=0$. Следовательно, для постоянного тока
\[
\oint \mathbf{j} \mathbf{d}=0,
\]

иначе говоря, линии вектора $\mathbf{j}$ в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае постоянного тока поле вектора $\mathbf{j}$ не имеет источников.

Дифференциальная форма уравнення иепрерывности.
Преобразуем последние два уравнения к дифференциальной форме. Для этого представим заряд $q$ как $\int \rho \mathrm{d} V$ и правую часть (5.4) как $-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int \rho \mathrm{d} V=$

$=-\int \frac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{~d} V$. Здесь взят зиак частиой производной $\rho$ по времени, поскольку $\rho$ может зависеть не только от времени, но и от координат. Итак,
$\oint \mathbf{j} \mathrm{d} \mathbf{S}=-\int \frac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{~d} V$.

Дальнейшее следует проделать так же, как это было сделано для потока вектора $\mathbf{E}$ в § 1.4. В результате получнм, что дивергенция вектора $\mathbf{j}$ в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке:

Отсюда вытекает условие стационарности (когда $\partial \rho / \partial t=$ $=0$ ):

Оно означает, что в случае постояиного тока поле вектора $\mathbf{j}$ не имеет источннков.