Энергетический подход к взаимодействию.
Энергетический подход к взаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим, весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме того, открывает возможность по-иному взглянуть и на само электрическое поле как физическую реальность.

Прежде всего мы выясним, как можно прийти к понятию о энергии взаимодействия системы зарядов.

1. Сначала рассмотрим систему из д в х точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементарных работ сил $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{F}_{2}$, с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в іккоторой $K$-системе отсчета за время $\mathrm{d} t$ заряды совершили перемещения $\mathrm{dl}_{1} \mathbf{~} \mathrm{dl}_{2}$. Тогда соответствующая работа этих сил
\[
\delta A_{1,2}=\mathrm{F}_{1} \mathrm{dl}_{1}+\mathrm{F}_{2} \mathrm{dl}_{2} .
\]

Учитывая, что $\mathbf{F}_{2}=-\mathbf{F}_{1}$ (по третьему закону Ньютона), перепишем предыдущее выражение:
\[
\delta A_{1,2}=\mathrm{F}_{1}\left(\mathrm{dl}_{1}-\mathrm{dl}_{2}\right) .
\]
87

Величина в скобках — это перемещение заряда $l$ относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда 1 в $K^{\prime}$-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной $K$-системе. Действительно, перемещение $\mathrm{dl}_{1}$ заряда $I$ в $K$-системе может быть представлено как перемещение $\mathrm{dl}_{2} K^{\prime}$-системы плюс перемещение $\mathrm{dl}_{1}^{\prime}$ заряда $l$ относительно этой $K^{\prime}$-системы: $\mathrm{dl}_{1}=\mathrm{dl}_{2}+\mathrm{dl}_{1}^{\prime}$. Отсюда $\mathrm{dl}_{1}-\mathrm{dl}_{2}=\mathrm{dl}_{1}^{\prime}$ и
\[
\delta A_{1,2}=\mathrm{F}_{1} \mathrm{dl}_{1}^{\prime} .
\]

Итак, оказывается, что сумма элементарных работ в произвольной $K$-системе отсчета всегда равна элементарной работе, которую совершает сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд покоится. Иначе говоря, работа $\delta A_{1,2}$ не зависит от выбора исходной $K$-системы отсчета.

Сила $\mathbf{F}_{1}$, действующая на заряд $I$ со стороны заряда 2, консервативная (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении $\mathrm{dl}_{1}^{\prime}$ может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда $I$ в поле заряда 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары зарядов:
\[
\delta A_{1,2}=-\mathrm{d} W_{12},
\]

где $W_{12}$ — величина, зависящая только от расстояния между этими зарядами.
2. Теперь перейдем к системе из т р е х точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т. е. $\delta A=\delta A_{1,2}+\delta A_{1,3}+\delta A_{2,3}$. Но для каждой пары взаимодействий, как только что было показано, $\delta A_{i, k}=-\mathrm{d} W_{i k}$, поэтому
\[
\delta A=-\mathrm{d}\left(W_{12}+W_{13}+W_{23}\right)=-\mathrm{d} W,
\]

где $W$ — энергия взаимодействия данной системы зарядов,
\[
W=W_{12}+W_{13}+W_{23} .
\]

Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия $W$

данной системы зарядов есть функция ее конфигурации.
Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии $W$ и работа всех сил взаимодействия при изменении этой конфигурации равна убыли энергии $W$ :
\[
\delta A=-\mathrm{d} W .
\]

Энергия взаимодействия. Найдем выражение для энергии $W$. Сначала рассмотрим опять систему из трех точечных зарядов, для которой мы показали, что $W=$ $=W_{12}+W_{13}+W_{23}$. Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое $W_{i k}$ в симметричном виде: $W_{i k}=1 / 2\left(W_{i k}+W_{k i}\right)$, поскольку $W_{i k}=W_{k i}$. Тогда
\[
W=1 / 2\left(W_{12}+W_{21}+W_{13}+W_{31}+W_{23}+W_{32}\right) .
\]

Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:
\[
W=1 / 2\left[\left(W_{12}+W_{13}\right)+\left(W_{21}+W_{23}\right)+\left(W_{31}+W_{32}\right)\right] .
\]

Каждая сумма в круглых скобках — это энергия $W_{i}$ взаимодействия $i$-го заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение можно переписать так:
\[
W=1 / 2\left(W_{1}+W_{2}+W_{3}\right)=1 / 2 \sum_{i=1}^{3} W_{i} .
\]

Обобщение полученного выражения на систему из произвольного числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассуждения совершенно не зависят от числа зарядов, составляющих систему. Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов
\[
W=1 / 2 \sum W_{i} .
\]

Имея в виду, что $W_{i}=q_{i} \varphi_{i}$, где $q_{i}$ — $i$-й заряд системы; $\varphi_{i}$ — потен-

Рис. 4.1 циал, создаваемый в месте нахождения $i$-го заряда в семи остальным и зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Пример.
Четыре одинаковых точечных заряда $q$ находятся в вершинах тетраэдра с ребром а (рис. 4.1). Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы.

Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна $W_{1}=q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a$. Всего таких взаимодействующих пар, как видно из рисунка, шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы
\[
W=6 W_{1}=6 q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a .
\]

Иной подход к решению этого вопроса основан на использовании формулы (4.3). Потенциал $\varphi$ в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов, равен $\varphi=3 q / 4 \pi \varepsilon_{0} a$. Поэтому
\[
W=\frac{1}{2} \sum_{i \in=1}^{4} q_{i} \varphi_{i}=\frac{1}{2} 4 q \Phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{6 q^{2}}{a} .
\]

Полная энергия взаимодействия.
Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов $\mathrm{d} q=\rho \mathrm{d} V$ и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем

где $\varphi$ — потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом $\mathrm{d} V$. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов, например, по поверхности; для этого достаточно в формуле (4.4) заменить $\rho$ на $\sigma$ и $\mathrm{d} V$ на $\mathrm{d} S$.

Можно ошибочно подумать (и это часто приводит к недоразумениям), что выражение (4.4) — это только видоизмененное выражение (4.3), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о непрерывно распределенном заряде. В действительности это не так — оба выражения отличаются по своему содержанию. Происхождение этого различия в разном смысле потенциала $\varphi$, входящего в оба выражения, что лучше всего пояснить на следующем примере.

Пусть система состоит из двух шариков, имеющих заряды $q_{1}$ и $q_{2}$. Расстояние между шариками значительно больше их размеров, поэтому заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ можно считать точечными. Найдем энергию $W$ данной системы с помощью обеих формул.
Согласно формуле (4.3)
\[
W=1 / 2\left(q_{1} \varphi_{1}+q_{2} \varphi_{2}\right)=q_{1} \varphi_{1}=q_{2} \varphi_{2},
\]

где, $\varphi_{1}$ — потенциал, создаваемый зарядом $q_{2}$ в месте

нахождения заряда $q_{1}$; аналогичный смысл имеет и потенциал $\varphi_{2}$.

Согласно же формуле (4.4) мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы $\rho \mathrm{d} V$ и каждый из них умножить на потенциал $\varphi$, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда этого шарика. Ясно, что результат будет совершенно другим, а именно:
\[
W=W_{1}+W_{2}+W_{12},
\]

где $W_{1}$ — энергия взаимодействия друг с другом элементов заряда первого шарика; $W_{2}$ — то же, но для второго шарика; $W_{12}$ — энергия взаимодействия элементов заряда первого шарика с элементами заряда второго шарика. Энергии $W_{1}$ и $W_{2}$ называют собственным энергия ми зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$, а $W_{12}$ — энергией в аим оде й ст вия заряда $q_{1}$ с зарядом $q_{2}$.

Таким образом, мы видим, что расчет энергии $W$ по формуле (4.3) дает только $W_{12}$, а расчет по формуле (4.4) — полную энергию взаимодействия: кроме $W_{12}$ еще и собственные энергии $W_{1}$ и $W_{2}$. Игнорирование этого обстоятельства зачастую является источником грубых ошибок.

К данному вопросу мы еще вернемся в § 4.4 , а сейчас получим с помощью формулы (4.4) несколько важных результатов.