Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:

Закон Био-Савара.
Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (6.3), определяющего индукцию поля В равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (6.3) вместо $q$ заряд $\rho \mathrm{d} V$, где $\mathrm{d} V$ – элементарный объем, $\rho-$ объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что $\rho \mathbf{v}=\mathbf{j}$ согласно (5.2). Тогда формула (6.3) приобретет следующий вид:

Если же ток $I$ течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения $\Delta S$, то
\[
j \mathrm{~d} V=j \Delta S \mathrm{~d} l=I \mathrm{~d} l,
\]

где $\mathrm{d} l$ – элемент длины провода. Введя вектор $\mathrm{d} l$ в направлении тока $I$, перепишем предыдущее равенство так:
\[
\mathbf{j} \mathrm{d} V=I \mathrm{~d} \mathbf{l} .
\]

Векторы $\mathbf{j} \mathrm{d} V$ и $I \mathrm{~d} \mathbf{l}$ называют соответственно о 6 ъе мным и линейным элементамитока то. Произ ведя в формуле (6.7) замену объемного элемента тока на линейный, получим

Формулы (6.7) и (6.9) выражают з акон Б и о-С ав а р a.

Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (6.7) или (6.9) по всем элементам тока:
\[
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{[\mathrm{jr}] \mathrm{d} V}{r^{3}}, \quad \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \oint \frac{I[\mathrm{~d} \mathbf{l}, \mathrm{r}]}{r^{3}} .
\]

Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока произвольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет определенную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.

Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т е. тока, теку-

щего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 6.3).

Согласно (6.9) в произвольной точке $A$ векторы $\mathrm{d}$ В от всех элементов тока имеют одинаковое направление – за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов $\mathrm{dB}$ можно заменить сложением их модулей $\mathrm{d} B$, причем
\[
\mathrm{d} B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{l \mathrm{~d} l \cos \alpha}{r^{2}} .
\]

Из рисунка видно, что $\mathrm{d} l \cos \alpha=r \mathrm{~d} \alpha$ и $r=b / \cos \alpha$. Поэтому
\[
\mathrm{d} B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \cos \alpha \mathrm{d} \alpha}{b} .
\]

Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегрированию по $\alpha$ от $-\pi / 2$ до $\pi / 2$, находим
\[
B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 I}{b} .
\]

Пример 2. Магнитное поле на оси кругового тока.
На рис. 6.4 показан вектор $\mathrm{dB}$ от элемента тока $I \mathrm{~d} l$, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов $\mathrm{d}$, и легко сообразить, что результирующий вектор В в точке $A$ будет направлен вверх но оси $Z$. Это значит, что для нахождения модуля вектора В достаточно сложить проекции векторов dB на ось $Z$. Каждая такая проекция имеет вид
\[
\mathrm{d} B_{z}=\mathrm{d} B \cos \beta=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{~d} l}{r^{2}} \cos \beta,
\]

где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен $\pi / 2$, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выражение по всем $\mathrm{d} l$ (это дает $2 \pi R$ ) и учитывая, что
Рис. 6.3
Рис. 6.4

$\cos \beta=R / r \quad$ и $\quad r=\left(z^{2}+R^{2}\right)^{1 / 2}$, получаем
\[
B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \pi R^{2} I}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}} .
\]

Отсюда следует, что в центре витка с током ( $z=0$ ) и на расстоянии $z \gg R$ модуль вектора В равен
\[
B_{z=0}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \pi I}{R}, \quad B_{z \gg R} \approx \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \pi R^{2} I}{z^{3}} .
\]