Теорема Пойнтинга.
Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и руководствуясь принципом сохранения энергии, мы должны заключить, что если в какой-то определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания» через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной).

В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда — уравнением (5.4). Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора $\mathbf{j}$ сквозь поверхность, охватывающую этот объем.

Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что существует не только плотность энергии в данной области, но и некоторый вектор $\mathbf{S}$, характеризующий плотность потока энергии.

Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т. е. производит работу над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать так:

где $\mathrm{d} \mathbf{A}$ — элемент поверхности.
Это уравнение выражает т е о рем у Пойнтинга убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс работа в единицу времени (т. е. мощность $P)$, которую поле производит над зарядами вещества внутри данного обтема.

В уравнении (10.21) $W=\int w \mathrm{~d} V$, $w-$ плотность энергии поля, $P=\int \mathbf{j} \mathbf{E} V, \mathbf{j}$ — плотность тока, $\mathbf{E}$ — напряженность электрического поля. Приведенное выражение для $P$

можно получить так. За время $\mathrm{d} t$ поле $\mathbf{E}$ совершит над точечным зарядом $q$ работу $\delta A=q \mathbf{E} \cdot \mathbf{u} \mathrm{d} t$, где $\mathbf{u}$ — скорость заряда. Отсюда мощность силы $q \mathbf{E}$ равна $P=q \mathbf{u E}$. Переходя к распределению зарядов, заменим $q$ на $\rho \mathrm{d} V$, $\rho$ — объемная плотность заряда. Тогда $\mathrm{d} P=\rho \boldsymbol{\mathrm { E }} \mathrm{d} V=$ $=\mathrm{jE} \mathrm{d} V$. Остается проинтегрировать $\mathrm{d} P$ по интересующему нас объему.

Следует отметить, что мощность $P$ в (10.21) может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля $\mathbf{E}$ или отрицательные — в противоположном направлении. Например, так обстоит дело в точках среды, где помимо электрического поля $\mathbf{E}$ действует и поле $\mathrm{E}^{*}$ сторонних сил. В этих точках $\mathbf{j}=\sigma\left(\mathbf{E}+\mathbf{E}^{*}\right)$, и если $\mathbf{E}^{*} \downarrow \uparrow \mathbf{E}$ и по модулю $E^{*}>E$, то $\mathrm{jE}$ в выражении для $P$ оказывается отрицательным.

Пойнтинг получил выражения для плотности энергии $w$ и вектора S, воспользовавшись уравнениями Максвелла (этот вывод мы приводить не будем). Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т. е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля

Заметим, что отдельные слагаемые этого выражения мы получили ранее [см. (4.10) и (9.32)].

Плотность же потока энергии электромагнитного поля — вектор, называемый вектором Пойнтинг а,- определяется как

Строго говоря, для обеих величин, $w$ и $\mathbf{S}$, из уравнений Максвелла нельзя получить однозначных выражений; приведенные выражения являются простейшими из бесконечного числа возможных. Мы должны поэтому рассматривать эти выражения как постулаты, справедливость которых должна быть подтверждена согласием выводимых из них следствий с опытом.

На нескольких примерах мы увидим, что хотя результаты, получаемые с помощью последних двух формул, иногда выглядят странными, обнаружить в них чего-то невероятного, какого-либо расхождения с опытом не удается. А это и является свидетельством тому, что оба выражения правильные.

Пример 1.
Поток энергии в электромагнитной волне (в вакууме). Вычислим энергию $\mathrm{d} W$, проходящую за время $\mathrm{d} t$ через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Если в месте нахождения этой площадки известны значения Е и В, то
\[
\mathrm{d} W=w c \mathrm{~d} t,
\]

где $w-$ плотность энергии, $w=\varepsilon_{0} E^{2} / 2+\mu_{0} H^{2} / 2$. Для электромагнитной волны в соответствии с (10.20)
\[
\varepsilon_{0} E^{2}=\mu_{0} H^{2} .
\]

Это значит, что в электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент равна плотности магнитной энергии в той же точке, и можно записать для плотности энергии:
\[
\omega=\varepsilon_{0} E^{2} .
\]

А тогда
\[
\mathrm{d} W=\varepsilon_{0} E^{2} c \mathrm{~d} t=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E^{2} \mathrm{~d} t .
\]

Теперь выясним, что мы получим, если воспользуемся вектором Пойнтинга. Эту же величину $\mathrm{d} W$ можно представить через модуль вектора $\mathbf{S}$ так:
\[
\mathrm{d} W=S \mathrm{~d} t=E H \mathrm{~d} t=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E^{2} \mathrm{~d} t .
\]

Таким образом, оба выражения — для $w$ и $\mathbf{S}$ — приводят к одинаковому результату (последние две формулы).

Пример 2.
Выделение теплоты в проводнике.
Пусть по прямому проводу круглого сечения радиусом $a$ течет ток I (рис. 10.7). Поскольку провод обладает сопротивлением, то вдоль него действует некоторое электрическое поле Е. Такое же значение E будет и у поверхности провода в вакууме. Кроме того,
Рис. 10.7 наличие тока порождает и магнитное поле. По теореме о циркуляции вектора Н вблизи поверхности провода $2 \pi a H=I, H=I / 2 \pi a$. Векторы Е и Н расположены так, что век-. тор Пойнтинга направлен внутрь
\[
\text { Рис. } 10.8
\]

провода нормально к его боковой поверхности (рис. 10.7). Следовательно, электромагнитная энергия втекает внутрь провода из

окружающего пространства! Но согласуется ли это с количеством теплоты, выделяемым в проводнике? Подсчитаем поток электромагнитной энергии сквозь боковую поверхность участка провода длины $l$ :
\[
E H \cdot 2 \pi a l=2 \pi a H \cdot E l=I \cdot U=R I^{2},
\]

где учтено, что $U$ — это разность потенциалов на концах данного участка, $R$ — его сопротивление. Таким образом, мы приходим к тому, что поток электромагнитной энергии поступает в провод извне и целиком превращается в джоулеву теплоту. Согласимся, что вывод неожиданный.

Заметим, что в источнике тока вектор $\mathbf{E}$ направлен против тока $I$, поэтому в области источника вектор Пойнтинга направлен наружу: там электромагнитная энергия выходит в окружающее пространство, т. е. оказывается, что энергия от источника тока передается не вдоль проводов, а через окружающее проводник пространство в виде потока электромагнитной энергии — потока вектора $\mathbf{S}$.

Пример 3.
На рис. 10.8 показан участок двухпроводной линии. Известны направление тока в проводах и тот факт, что потенциалы проводов $\varphi_{1}<\varphi_{2}$. Можно ли установить, где находится источник тока (генератор), слева или справа?

Ответ можно получить, если воспользоваться вектором Пойнтинга. В нашем случае между проводами вектор $\mathbf{E}$ направлен вниз, а вектор $\mathbf{H}$ — за плоскость рисунка, поэтому вектор $\mathbf{S}=$ $=[\mathbf{E H}]$ направлен вправо, т. е. источник тока находится слева, потребитель — справа.

Пример 4.
Зарядка конденсатора. Возьмем плоский конденсатор с круглыми обкладками радиусом а. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), найдем поток электромагнитной энергии сквозь боковую «поверхность» конденсатора, ибо только там вектор Пойнтинга $\mathbf{S}$ направлен внутрь конденсатора (рис. 10.9).
На этой поверхности имеется меняющееся электрическое поле Е и вызванное его изменением магнитное поле Н. По теореме о циркуляции вектора Н следует, что $2 \pi a H=\pi a^{2} \partial D / \partial t$, где справа стоит
Рис. 10.9 ток смещения через контур, показанный на рис. 10.9 пунктиром. Отсюда $H=$ $=1 / 2 a \partial D / \partial t$. Если расстояние между обкладками $h$, то поток вектора $\mathbf{S}$ сквозь боковую поверхность есть
\[
E H 2 \pi a h=E \frac{a}{2} \frac{\partial D}{\partial t} 2 \pi a h=E \frac{\partial D}{\partial t} V,
\]

где $V=\pi a^{2} h$ — объем конденсатора. Будем считать, что этот поток идет целиком на увеличение энергии конденсатора. Тогда, умножив (1) на $\mathrm{d} t$, получим приращение энергии конденсатора

за время $\mathrm{d} t$ :
\[
\mathrm{d} W=E \mathrm{~d} D \cdot V=\mathrm{d}\left(\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} E^{2}}{2} V\right)=\mathrm{d}\left(\frac{E D}{2} V\right) .
\]

Проинтегрировав это уравнение, найдем формулу для энергии $W$ заряженного конденсатора. Таким образом, и здесь оказывается все в порядке.