Очень часто приходится встречаться с задачами, в которых распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительное расположение. И требуется определить потенциал $\varphi(\mathbf{r})$

в любой точке поля между проводниками. Напомним, что, зная $\varphi(r)$, можно легко восстановить само ноле $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ и по значению $\mathbf{E}$ непосредственно у поверхности проводников найти распределение поверхностных зарядов на них.

Уравнения Пуассона и Лапласа.
Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция $\varphi$-потенциал. Для этого подставим в левую часть (1.20) вместо $\mathbf{E}$ его выражение через $\varphi$, т. е. $\mathbf{E}=-
abla$. В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала — уравнение Пуассона:

где $
abla^{2}$-оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах он имеет вид
\[

abla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}},
\]
т. е. представляет собой скалярное произведение $
abla \cdot
abla$ [см. (1.19)].

Если между проводниками нет зарядов ( $\rho=0$ ), то уравнение ( 2.8 ) переходит в более простое — уравнение JIапла са:

Определение потенциала сводится к нахождению такой функции $\varphi$, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям (2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и т. д.

В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Это утверждение называют т е о р е м ой единственности. С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле $\mathbf{E}$, вообще говоря, не однозначно — мы пришли к физическому абсурду.

По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом. Действительно, между зарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная связь (2.2): $\sigma=\varepsilon_{0} E_{n}$. Отсюда сразу и следует, что единственность поля $\mathbf{E}$ определяет и единственность распределения заряда на поверхности проводника.

Решение уравнений (2.8) и (2.9) в общем случае — задача сложная и кропотливая. Аналитические решения этих уравнений получены лишь для немногих частных случаев. Использование же теоремы единственности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. Если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (или Пуассона) и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным н единственным, каким бы способом (хотя бы путем догадки) мы ни нашли его.

Пример.
Показать, что поле в пустой полости проводника отсутствует.

Потенциал $\varphi$ в полости должен удовлетворять уравнению Лапласа (2.9) и на стенках полости принимать какое-то значение $\varphi_{0}$. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, можно угадать сразу: $\varphi=\varphi_{0}$. Согласно теореме единственности других решений быть не может. Поэтому $\mathbf{E}=-
abla \varphi=0$.

Метод изображений.
Это искусственный метод, позволяющий в ряде случаев (к сожалению, немногих) рассчитать электрическое поле достаточно просто. Рассмотрим идею этого метода на самом простом примере, когда точечный заряд $q$ находится около безграничной проводящей плоскости (рис. 2.7, a).

Рис. 2.7

Идея метода заключается в том, что мы должны найти другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использовано. В нашем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами $q$ и $-q$. Поле этой системы известно (его эквипотенциали и линии вектора E показаны на рис. $2.7,6)$.

Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал $\varphi=0$ ) проводящую плоскость и уберем заряд — q. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним. Действительно, на проводящей плоскости и всюду в бесконечности $\varphi=0$, точечный же заряд $q$ можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал — к бесконечности. Таким образом, в верхнем полупространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем же дсталось и поле в этой области (рис. 2.7, в)
Заметим, что к этому выводу можно прийти, исходя и

из свойств замкнутой проводящей оболочки (см. § 2.4), поскольку оба полупространства, разделенные проводящей плоскостью, в электрическом отношении независимы друг от друга, удаление заряда $-q$ никак не скажется на поле в верхнем полупространстве, оно останется прежним.

Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение $q^{\prime}=-q$, противоположный по знаку заряду $q$, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд $q$. Фиктивный заряд $q^{\prime}$ создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие» всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивного заряда распространяется лишь на то полупространство, в котором находится действительный заряд $q$. В другом полупространстве поле отсутствует.

Резюмируя, можно сказать, что метод изображений по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы той же. Если это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображений оказывается весьма эффективным. Рассмотрим еще один пример.
Пример. Точечный заряд $q$ Рис. 2.8 находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями (рис.
2.8, а). Найти расположение точечных фиктивных зарядов, действие которых на заряд q будет эквивалентно действию всех индуцированных зарядов на данных полуплоскостях.

Нужно найти систему из точечных зарядов, у которой эквипотенциальные поверхности с $\varphi=0$ совпадали бы с проводящими полуплоскостями. Одним и двумя фиктивными зарядами здесь не обойтись, таких зарядов должно быть три (рнс. 2.8, б). Только при такой конфигурации системы из четырех зарядов можно осуществить необходимую «подгонку»- обеспечить, чтобы на проводящих полуплоскостях потенциал был равен

нулю. Именно эти три фиктивных заряда и создают то же поле внутри «прямого угла», что и заряды, индуцированные нє́ проводящих полуплоскостях.

Найдя эту конфигурацию точечных зарядов (другую задачу), можно затем просто решить ряд других вопросов, например найти потенциал и напряженность поля в любой точке внутри «прямого угла», силу, действующую на заряд $q$, и др.