Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Очень часто приходится встречаться с задачами, в которых распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительное расположение. И требуется определить потенциал $\varphi(\mathbf{r})$ в любой точке поля между проводниками. Напомним, что, зная $\varphi(r)$, можно легко восстановить само ноле $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ и по значению $\mathbf{E}$ непосредственно у поверхности проводников найти распределение поверхностных зарядов на них. Уравнения Пуассона и Лапласа. где $ abla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}, Если между проводниками нет зарядов ( $\rho=0$ ), то уравнение ( 2.8 ) переходит в более простое – уравнение JIапла са: Определение потенциала сводится к нахождению такой функции $\varphi$, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям (2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и т. д. В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Это утверждение называют т е о р е м ой единственности. С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле $\mathbf{E}$, вообще говоря, не однозначно – мы пришли к физическому абсурду. По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом. Действительно, между зарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная связь (2.2): $\sigma=\varepsilon_{0} E_{n}$. Отсюда сразу и следует, что единственность поля $\mathbf{E}$ определяет и единственность распределения заряда на поверхности проводника. Решение уравнений (2.8) и (2.9) в общем случае – задача сложная и кропотливая. Аналитические решения этих уравнений получены лишь для немногих частных случаев. Использование же теоремы единственности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. Если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (или Пуассона) и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным н единственным, каким бы способом (хотя бы путем догадки) мы ни нашли его. Пример. Потенциал $\varphi$ в полости должен удовлетворять уравнению Лапласа (2.9) и на стенках полости принимать какое-то значение $\varphi_{0}$. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, можно угадать сразу: $\varphi=\varphi_{0}$. Согласно теореме единственности других решений быть не может. Поэтому $\mathbf{E}=- Метод изображений. Рис. 2.7 Идея метода заключается в том, что мы должны найти другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использовано. В нашем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами $q$ и $-q$. Поле этой системы известно (его эквипотенциали и линии вектора E показаны на рис. $2.7,6)$. Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал $\varphi=0$ ) проводящую плоскость и уберем заряд – q. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним. Действительно, на проводящей плоскости и всюду в бесконечности $\varphi=0$, точечный же заряд $q$ можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал – к бесконечности. Таким образом, в верхнем полупространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем же дсталось и поле в этой области (рис. 2.7, в) из свойств замкнутой проводящей оболочки (см. § 2.4), поскольку оба полупространства, разделенные проводящей плоскостью, в электрическом отношении независимы друг от друга, удаление заряда $-q$ никак не скажется на поле в верхнем полупространстве, оно останется прежним. Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение $q^{\prime}=-q$, противоположный по знаку заряду $q$, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд $q$. Фиктивный заряд $q^{\prime}$ создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие» всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивного заряда распространяется лишь на то полупространство, в котором находится действительный заряд $q$. В другом полупространстве поле отсутствует. Резюмируя, можно сказать, что метод изображений по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы той же. Если это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображений оказывается весьма эффективным. Рассмотрим еще один пример. Нужно найти систему из точечных зарядов, у которой эквипотенциальные поверхности с $\varphi=0$ совпадали бы с проводящими полуплоскостями. Одним и двумя фиктивными зарядами здесь не обойтись, таких зарядов должно быть три (рнс. 2.8, б). Только при такой конфигурации системы из четырех зарядов можно осуществить необходимую «подгонку»- обеспечить, чтобы на проводящих полуплоскостях потенциал был равен нулю. Именно эти три фиктивных заряда и создают то же поле внутри «прямого угла», что и заряды, индуцированные нє́ проводящих полуплоскостях. Найдя эту конфигурацию точечных зарядов (другую задачу), можно затем просто решить ряд других вопросов, например найти потенциал и напряженность поля в любой точке внутри «прямого угла», силу, действующую на заряд $q$, и др.
|
1 |
Оглавление
|
