Собственная и взаимная энергии.
Возьмем два неподвижных контура 1 и 2, расположив их достаточно близко друг к другу (чтобы была магнитная связь между ними). Предполагается, что в каждом контуре есть свой источник постоянной э. д. с. Замкнем в момент $t=0$ каждый из контуров. Как в том, так и в другом контуре начнет устанавливаться свой ток и, следовательно, появятся э. д. с. самоиндукции $\mathscr{E}_{s}$ и э. д. с. взаимной индукции $\mathscr{E}_{i}$. Дополнительная работа, совершаемая при этом источниками постоянной э. д. с. против $\mathscr{E}_{s}$ и $\mathscr{\mathscr { C }}_{i}$, идет, как мы уже знаем, на создание магнитной энергии.
Найдем эту работу за время $\mathrm{d} t$ :

Преобразуем эту формулу, учитывая, что $\mathscr{E}_{s 1}=-L_{1} \mathrm{~d} I_{1} / \mathrm{d} t$, $\mathscr{E}_{i 1}=-L_{12} \mathrm{~d} I_{2} / \mathrm{d} t$ и т. д.:
\[
\mathrm{d} W=L_{1} I_{1} \mathrm{~d} I_{1}+L_{12} I_{1} \mathrm{~d} I_{2}+L_{2} I_{2} \mathrm{~d} I_{2}+L_{21} I_{2} \mathrm{~d} I_{1} .
\]

Имея в виду, что $L_{12}=L_{21}$, представим последнее уравнение в виде
\[
\mathrm{d} W=\mathrm{d}\left(L_{1} I_{1}^{2} / 2\right)+\mathrm{d}\left(L_{2} I_{2}^{2} / 2\right)+\mathrm{d}\left(L_{12} I_{1} I_{2}\right),
\]

откуда

Здесь первые два слагаемых называют с о б с т в е н н о й э нерги й тока $I_{1}$ и тока $I_{2}$, последнее слагаемое в заимной энергй обоих токов. Взаимная энергия токов – величина алгебраическая в отличие от собственных энергий токов. Изменение направлення одного из токов приводит к изменению знака взаимной энергии – последнего слагаемого в $(9.34)$.

Пример.
Имеются два концентрических контура с токами $I_{1}$ и $I_{2}$, направления которых показаны на рис. 9.14. Взанмная янергия этих токов $\left(W_{12}=L_{12} I_{1} I_{2}\right.$ ) зависит от трех алгебраических величин, знаки которых

Рис. 9.14

определяются выбором положительных направлений обхода обоих контуров. Полезно, однако, убедиться в том, что знак величины $W_{12}$ (в данном случае $W_{12}>0$ ) определяется только взаимным направлением самих токов и совершенно не зависит от выбора положительных направлений обхода контуров. Напомним, что о знаке величины $L_{12}$ говорилось в § 9.4.

Полевая трактовка энергии (9.34).
Есть несколько важных вопросов, которые мы сможем решить, вычислив магнитную энергию двух контуров еще и иначе – с точки зрения локализации энергии в поле.

Пусть $\mathbf{B}_{1}$ – магнитное поле тока $I_{1}$, а $\mathbf{B}_{2}$ – поле тока $I_{2}$. Тогда по принципу суперпозиции поле в каждой точке $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{1}+\mathbf{B}_{2}$ и согласно (9.31) энергия поля этой системы токов $W=\int\left(B^{2} / 2 \mu_{0}\right) \mathrm{d} V$. Подставив сюда $B^{2}=B_{1}^{2}+$ $+B_{2}^{2}+2 \mathbf{B}_{1} \mathbf{B}_{2}$, получим

Соответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах (9.35) и (9.34) не вызывает сомнения.

Формулы (9.34) и (9.35) приводят к таким важным следствиям.

1. Магнитная энергия системы двух (и более) токов величина всегда положительная, $W>0$. Это вытекает из того факта, что $W \sim \int B^{2} \mathrm{~d} V$, где под интегралом стоят положительные величины.
2. Энергия токов – величина не аддитивная (из-за наличия взаимной энергии).
3. Последний интеграл в (9.35) пропорционален произведению токов $I_{1} I_{2}$, так как $B_{1} \sim I_{1}$ и $B_{2} \sim I_{2}$. Коэффициент
же пропорциональности (т. е. оставшийся интеграл) оказывается симметричным относительно индексов 1 и 2 , а поэтому его можно обозначить $L_{12}$ или $L_{21}$ [в соответствии с формулой (9.34)]. Таким образом, действительно $L_{12}=L_{21}$.
4. Из выражения (9.35) вытекает другое определение взаимной индуктивности $L_{12}$. В самом деле, сопоставление выражений (9.35) и (9.34) показывает, что
\[
L_{12}=\frac{1}{I_{1} I_{2}} \int \frac{\mathbf{B}_{1} \mathbf{B}_{2}}{\mu \mu_{0}} \mathrm{~d} V .
\]